दिखाएं की h ऊंचाई वाले वृत लम्ब वृतिये शंकु के अंतर्गत महत्तम आयतन वाले बेलन की ऊंचाई `(h)/(3)` है|

Explanation

माना की AL =x,MC =r
दिया है, AM =h, ` therefore LM=h -x `
समरूप ` Delta ALQ ` तथा ` Delta AMC ` से,
` (AL)/( AM ) = (LQ)/( MC) rArr (LQ)/( r) therefore LQ =(rx)/(h) `
` (##KCS_HIN_MAT_XII_P1_C18_SLV_023_S01.png" width="80%">
माना शंकु के अंतर्गत बेलन का आयतन y है तो
` " " y= pi *LQ^(2) *LM=pi (r^(2) x^(2))/( h^(2)) (h-x)" "...(1)`
` therefore " "(dy)/(dx) =(pir^(2) )/( h^(2)) [2x (h-x) +x^(2) (-1)]`
` " "= (pir^(2))/( h^(2)) x( 2h- 3x)" "...(2)`
y के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए
` " "(dy)/(dx) =0 rArr x( 2h - 3x)=0 rArr x=( 2h )/( 3 ) " " [ because xgt 0 ] `
(2) से ` " "(d^(2) y)/( dx^(2) ) =(pir^(2))/( h^(2)) (2h - 6x) " "...(3)`
` x= ( 2h )/( 3) ` पर ` (d^(2)y)/( dx^(2) ) =(pir^(2))/(h^(2)) (-2h ) lt0`
अतः y का महत्तम जब ` x= (2)/(3) h `
इस स्थिति में बेलन की ऊंचाई ` = h-x=h -(2)/(3) h= (h)/(3)