सिद्ध कीजिए की R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले के आयतन का `(8)/(27)` होता है|

Explanation

माना की ` OC =h,CQ =r`
दिया है ` OA =R `
अब शंकु की ऊंचाई =OC +OA =h + R
` therefore " "V ` = शंकु का आयतन
` " "=(1)/(3) pir^(2) (h+R) " "....(1) `
` Delta OCQ ` से
` " "OC^(2) +CQ^(2) =OQ^(2) `
` rArr " "h^(2) +r^(2) =R^(2) rArrr^(2) =R^(2) -h^(2)" "....( 2)`
(1 ) तथा (2 ) से
` " "V= (1)/(3) pi (R^(2) -h^(2)) (h+R)" "...(3)`
h के सापेक्ष अवकलित (differentiate ) करने पर हमें मिलता है|
` " "(dV)/( dh) =(1)/(3) pi [-2h(h+R) +(R^(2) -h^(2) )* 1] =(1)/(3) pi [R^(2) -2hR - 3h^(2) ]`
तथा ` " "(d^(2)V)/( dh^(2)) =(1)/(3) pi [-2R -6h ]`
V के महत्तम एवं न्यूनतम मान के लिए `(dV)/(dh )=0 `
` rArr R^(2) -2h R- 3h^(2) =0 rArr " "(R+ h) (R- 3h )=0 `
` rArr " " h = (1)/(3) R " " [ h ne -R]`
` (##KCS_HIN_MAT_XII_P1_C18_SLV_024_S01.png" width="80%">
h के इस मान के लिए ` , (d^(2)V) /( dh^(2)) =-(4)/(3)pi R lt0 `
` therefore h= (R)/( 3) ` होने पर V महत्तम होगा|
V का महत्तम मान ` =(1)/(3) pi (R^(2) -( R^(2))/( 9)) ((1)/(3) R+R) " " [(3) ` से]
` =(1)/(3) pi * (8R^(2))/( 9) *(4R)/(3)*(8)/( 27 ) ((4)/( 3) piR^(3)) =(8)/(27) xx` गोले के आयतन