सिद्ध कीजिए की R त्रिज्या के एक गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊंचाई ` (2R)/(sqrt( 3))` है| अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए|

Explanation

प्रश्न से, दिए गये गोले की त्रिज्या R है|
माना की गोले के अंतर्गत बेलन की ऊंचाई h तथा त्रिज्या r है|
चित्र से ` OA =R, CA =r`
तथा ` " " h= 2* OC `
माना की ` angle AOC =theta `
तो ` r= CA =R sin theta `
` OC =R cos theta rArr h= 2R cos theta ` ltBrgt माना की बेलन की ऊंचाई V है तो
` therefore " " V= pir^(2) h =pi (Rsin theta)^(2) *2R cos theta `
` therefore " "V=2pi R ^(3) sin ^(2) theta cos theta " "...(1)`
` rArr " "(dV)/(d theta ) =2pir^(3) (2sin theta cos ^(2) theta -sin ^(3) theta )" "...(2)`
तथा ` (d^(2)V)/(d theta^(2)) =2pi r ^(3)(2cos ^(3) theta - 7sin ^(2)theta cos theta ) " "...(3)`
V के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए
` " "(dV)/(d theta ) =0 rArr cos theta (2cos ^(2) theta -sin ^(2)theta )=0 `
` rArr " "tan ^(2) theta =2 " " [ sin theta ne 0]`
` rArr tan theta =sqrt(2) (0lt theta lt (pi)/(2)) therefore sin theta (sqrt(2))/(sqrt(3)) ,cos theta =(1)/(sqrt(3))`
अब जब ` tan theta =sqrt(2)` अर्थात जब ` sin theta (sqrt(2))/(sqrt(3))` तथा ` cos theta ""(1)/(sqrt(3))`
` " "(d^(2)V)/(d theta ^(2)) =2piR ^(3)(2* (1)/(3sqrt(3)) -7 (2)/(3) * (1)/(sqrt(3)))`
` " "= -(8)/(sqrt(3)) pi R^(3) lt 0 " "[ because Rgt0 ]`
`therefore V ` महत्तम है जब ` tan theta =sqrt(2)`
इस स्थिति में V का महत्तम मान ` = 2pi R^(3) ((sqrt(2))/(sqrt(3))) ^(2)(( 1)/(sqrt(3)))=( 4piR^(3))/(3sqrt(3))`
तथा ` h= 2R cos theta =""(2R)/(sqrt(3))`
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