बिंदु (3,4) से जाती हुई सरल रेखा का समीकरण निकालें जो प्रथम पाद से न्यूनतम क्षेत्रफल का त्रिभुज काटता है|

Explanation

माना की बिंदु `P (3,4)` से जाती हुई सरल रेखा AB है|
`P (3,4)` से जाती हुई किसी रेखा का समीकरण होगा,
` " "y-4 =m (x-3) " "...(1)`
(1 ) में y =0 रखने पर, ` x=3-(4)/(m) ` मिलता है|
अतः रेखा x अक्ष को ` A( 3-( 4)/(m) ,0) ` पर काटता है|
तथा x =0 रखने पर ,y =4 -3m
अतः रेखा y अक्ष के `B(0,4-3m)` पर काटता है|
अब ` Delta OAB ` का क्षेत्रफल ` A= ( 1)/(2) (3- (4)/(m))(4-3m )`
m के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें मिलता है,
` " "(dA)/(dm ) =(1)/(2) ((4)/(m^(2))) (4-3m ) +(1)/(2) (3-(4)/(m) ) (-3)`

` " "= (8-6m)/(m^(2)) +3 * (4-3m )/(2m ) = ( 16-9m^(2) ) /( 2m ^(2))" "...(3)`
A के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए
` " "(dA)/(dm) =0rArr9m^(2) =16rArr m= +-(4)/(3)`
साथ ही ` (d^(2)A)/(dm ^(2))=(16)/(m^(3))`
जब ` m= (4)/(3) ` तो `(d^(2)A)/(dm^(2))lt 0 " "therefore A ` महत्तम है|
जब ` m= -(4)/(3) ` तो ` (d^(2)A )/(dm^(2) )gt 0" "therefore A ` न्यूनतम है|
अब `Delta AOB ` का क्षेत्रफल न्यूनतम होने के लिए `m= -(4)/(3)`
` therefore ` (1 ) से रेखा का अभीष्ट समीकरण है, ` y-4=-(4)/(3) (x-3) `
`rArr 3y -12 =-4x+12 " "rArr 4x+ 3y =24`
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