बिंदु (0 ,c ) से परवलय `y=x^(2) ` की न्यूनतम दुरी ज्ञात कीजिए जहाँ ` 0lt clt 5` है|

Explanation

दिए गए बक्र का समीकरण है, `y=x^(2) " "...(1)`
माना की `P-= (0,c)`
` (##KCS_HIN_MAT_XII_P1_C18_SLV_036_S01.png" width="80%">
माना की वक्र (1 ) पर कोई स्वेच्छ बिंदु `Q( t,t^(2))` है|
माना की ` z=PQ^(2)`
तो ` " "z= t^(2) +(t^(2) -c)^(2) " "...(2)`
`therefore (dz)/(dt) =2t +2 (t^(2) -c) 2t =2t (1+ 2t^(2) -2c)`
` " "= 2t (2t^(2) -2c +1) " "...(3)`
` 2t (2t^(2) -2c +1) =0rArr t= 0,+- sqrt((2c-1)/(2))`
प्रश्न से `0le le 5`
case I ,जब `0le cle (1)/(2):`
इस स्थिति में ` (dz)/(dt) =0rArr t=0 ` जब
` " " =0,0,0,"जब "c= (1)/(2)`
`(dz)/(dt) ` अर्थात t का चिन्ह योजना ` " " [ because clt (1)/(2) "के लिए "2t^(2) -2c +1gt 0]`

2 न्यूनतम है जब t =0
`therefore (2) ` से ` CPQ ` का न्यूनतम मान `=sqrt(z) =c`
case II जब `(1)/(2) ltc le 5:`
इस स्थिति में `(dz)/(dt) =0rArr t=0,-sqrt((2c-1)/(2)),sqrt((2c-1)/(2))`
` (dz)/(dt)` अर्थात ` 2t (2t^(2) -2c +1) ` का चिन्ह योजना

` t=-sqrt((2c-1)/(2)) `पर `z=(2c-1)/(2) +((2c-1)/(2)-c)^(2) =(2c-1)/(2) +(1)/(4) =(4c-1)/(4)`
` t= sqrt((2c-1)/(2))` पर ` z= (2c-1)/(2)+ ((2c-1)/(2)-c) =(4c-1)/(4)`
` therefore (2) ` से PQ का न्यूनतम (निरपेक्ष न्यूनतम )मान ` =sqrt(z)= sqrt((4c-1)/(4))=sqrt(c-(1)/(4) )`
इस प्रकार अभीष्ट न्यूनतम दुरी ` =sqrt(c-(1)/(4) )` जब ` lt c le 5 ] [because sqrt(c-(1)/(4) )lt c ]`
second method ltBrgt दिया हुआ वक्र है, `y=x^(2)" "...(1)`
माना की ` P-= (0,c) `
हम जानते है की किसी बिंदु से किसी वक्र का न्यूनतम या महत्तम दुरी वक्र के उस अभिलम्ब (normal ) के अनुदिश होता है जो दिए हुए बिंदु से गुजरता है||
` (1)` से ` (dy)/(dx) =2 xtherefore Q (t,t^(2) ) ` पर ` (dy)/(dx) =2t `

वक्र (1 ) के बिंदु `Q(t,t^(2))` पर अभिलम्ब समीकरण है|
` " "y- t^(2)=-(1)/(2t) (x-t)`
यदि रेखा (2 ) बिंदु `P (0,c)` से गुजरती है तो
` c-t^(2) =-(1)/(2) (0-t)`
या ` 2t (c-t^(2))-t=0 " "` या ` t(2t^(2)- 2c +1)=0`
` therefore " "t= 0,+- sqrt((2c-1)/(2))`
जब ` t=0 ,PQ =sqrt(t^(2) +(t^(2)-c)^(2))=c`
जब ` t=+- sqrt((2c -1) /(2) ), PQ =sqrt((2c-1)/(2) + ((2c-1)/(2) -1)^(2))`
` " "=sqrt((2c -1)/(2) +(1)/(4) )= sqrt(c-(1)/(4))`
लेकिन t के वास्तविक होने के लिए `(1)/(2) lt c le 5 " " [because olecle5]`
चूँकि `sqrt(c-(1)/(4) ) lt c therefore ` अभीष्ट न्यूनतम दुरी ` = sqrt(c-(1)/(4) )`