किसी वस्तु के लिए सम्पूर्ण लागत तथा मांग फलन क्रमशः
`C (x) =(x^(3))/(3) -7x^(2) + 111x+ 50 ` तथा ` p= 100-x ` से प्रदत है | कुल आय फलन तथा लाभ फलन को लिखे|इकाइयों की संख्या निकालें जब लाभ महत्तम है|महत्तम लाभ भी निकालें|

Explanation

दिया है `p= 100-x " "....( 1) `
` C= C (x) =(1)/(3) x^(3) -7x^(2) +111x+ 50" "...(2)`
` therefore R =R(x) =px =100x-x^(2)" "...(3)`
x इकाइयों के उत्पादन के लिए लाभ फलन
`" "P= R-C `
` =100x- x^(2) -((1)/(3) x^(3) -7x^(2)+111x +50)`
` " "= - (1)/(3) x^(3)+ 6x^(2) -11x -50`
` therefore (dP)/(dx) =-x^(2) +12x -11 ` तथा ` (d^(2)P) /(dx^(2))=- 2x +12`
P के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए
` (dP)/(dx) =0 " "rArr x^(2) -12 x+11=0`
` rArr (x-1) (x-11) =0 " "rArrx=1,11 `
` x=1` पर ` (d^(2) P)/(dx^(2))=10gt 0`
` therefore x=1 1` पर लाभ न्यूनतम है
` x=11` पर ` (d^(2)P)/(dx^(2))=-10 lt0`
` therefore " "x=1 ` लाभ महत्तम है| ltBrgt `P=- (1)/(3) xx 11^(3) +6xx11^(2) xx11 -50 =111(1)/(3) =111.33`