सिद्ध करें कि बिन्दुएँ A, B, C जिनके स्थिति सदिश क्रमश : `vec(a),vec(b),vec(c)` हैं संरेख होते हैं यदि और केवल यदि `(vec(b)xxvec(c))+(vec(c)xxvec(a))+(vec(a)xxvec(b))=vec(0)`

Explanation

दिया है, `vec(OA)=vec(a),vec(OB)=vec(b)" तथा "vec(OC)=vec(c)`, जहाँ O मूल बिन्दु है |
अब `vec(AB)=vec(OB)-vec(OA)=vec(b)-vec(a)`
तथा `vec(BC)=vec(OC)-vec(OB)=vec(c)-vec(b)`
अब A, B, C संरेख होंगे |
`iff vec(AB)||vec(BC)`
`iff vec(AB)xxvec(BC)=0`
`iff (vec(b)-vec(a))xx(vec(c)-vec(b))=0`
`iff (vec(b)-vec(a))xxvec(c)-(vec(b)-vec(a))=vec(0)" "["वितरण नियम से"]`
`iff vec(b)xxvec(c)-vec(a)xxvec(c)-vec(b)xxvec(b)+vec(a)xxvec(b)=vec(0)" "["वितरण नियम से"]`
`iff (vec(b)xxvec(c))+(vec(c)xxvec(a))+(vec(a)xxvec(b))=vec(0)" "[because vec(b)xxvec(b)=vec(0)" तथा "-vec(a)xxvec(c)=vec(c)xxvec(a)]`
इस प्रकार, A, B, C संरेख हैं
`iff (vec(b)xxvec(c))+(vec(c)xxvec(a))+(vec(a)xxvec(b))=vec(0)`.