दिखाएँ कि समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसके विकर्ण `3hati+hatj-2hatk` तथा `hati-3hatj+4hatk` हैं, `5sqrt(3)` है |

Explanation

माना कि OABC एक समान्तर चतुर्भुज है |
माना कि `vec(OA)=vec(a)" तथा "vec(OC)=vec(c)`
तो `" "vec(OB)=vec(OA)+vec(AB)=vec(OA)+vec(OC)=vec(a)+vec(c)`
तथा `" "vec(CA)=vec(CO)+vec(OA)=vec(OA)+vec(CO)=vec(OA)-vec(OC)=vec(a)-vec(c)`
प्रश्न से, `" "vec(a)+vec(c)=3hati+hatj-2hatk" "...(1)`
तथा `" "vec(a)-vec(c)=hati-3hatj+4hatk" "...(2)`
(1) तथा (2) को जोड़ने पर हमें मिलता है
`2vec(a)=4hati-2hatj+2hatk`
या, `" "vec(a)=2hati-hatj+hatk" "...(3)`
(2) को (1) से घटाने पर मिलता है,
`2vec(c)=2hati+4hatj-6hatk`
`vec(c)=hati+2hatj-3hatk" "...(4)`

अब `" "vec(a)xxvec(c)=(2hati-hatj+hatk)xx(hati+2hatj-3hatk)`
`=|{:(hati,,hatj,,hatk),(2,,-1,,1),(1,,2,,-3):}|=(3-2)hati+(1+6)hatj+(4+1)hatk=hati+7hatj+5hatk`
`:.` समान्तर चतुर्भुज OABC का क्षेत्रफल `=|vec(a)xxvec(c)|=|hati+7hatj+5hatk|`
`=sqrt(1+49+25)=sqrt(75)=5sqrtt(3)`.
Note : यदि किसी समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण `vec(a)` तथा `vec(b)` हैं तो उसका क्षेत्रफल `(1)/(2)|vec(a)xxvec(b)|` होता है |