सदिश विधि का उपयोग कर किसी `DeltaABC` में सिद्ध करें कि
`(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)`
जहाँ a, b, c, `DeltaABC` के कोण A, B तथा C के सामने कि भुजाओं की लम्बाइयाँ हैं |

Explanation

त्रिभुज ABC में
माना कि `vec(BC)=vec(a),vec(CA)=vec(b),vec(AB)=vec(c)`
तो `" "vec(a)+vec(b)+vec(c)=vec(0)" "...(1)`
दोनों तरफ `vec(a)` से क्रॉस गुणन लेने पर हमें मिलता है,

`vec(a)xx(vec(a)+vec(b)+vec(c))=vec(a)xxvec(0)`
या, `" "vec(a)xxvec(a)+vec(a)xxvec(b)+vec(a)xxvec(c)=vec(0)`
या, `" "vec(a)xxvec(b)+vec(a)xxvec(c)=vec(0)" "[because vec(a)xxvec(A)=vec(0)]`
या, `" "vec(a)xxvec(b)-vec(c)xxvec(a)=vec(0)`
या, `" "vec(a)xxvec(b)=vec(c)xxvec(a)" "...(2)`
उसी तरह `vec(b)` से क्रास गुणन लेने पर हमें मिलता है,
`vec(a)xxvec(b)=vec(b)xxvec(c)" "...(3)`
(2) तथा (3) से हमें मिलता है,
`vec(a)xxvec(b)=vec(b)xxvec(c)=vec(c)xxvec(a)`
`implies" "|vec(a)xxvec(b)|=|vec(b)xxvec(c)|=|vec(c)xxvec(a)|`
या, `" "ab sin(pi-C)=bc sin(pi-A)=ca sin(pi-B)`
या, `" "ab sin C=bc sin A=ca sin B`
abc से भाग देने पर हमें मिलता है,
`(sinC)/(c)=(sinA)/(a)=(sinB)/(b)" या,"(sinA)/(a)=(sinB)/(b)=(sinC)/(c)`
या, `" "(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)`