एक रेखा एक धन (cube ) के चारो विकर्णों (diagonals ) के साथ `alpha, beta, lamda, delta` कोण बनाती है. सिद्ध कीजिए कि
`cos^(2)alpha+cos ^(2)beta+cos^(2)lamda+cos^(2)delta=4/3`

Explanation

भुजा a के धन (cube ) की तीन सलंगन कोरो (edges ) OA , OB , OC को निर्देशाक्ष लेने पर धन के शीर्षो के निर्देशांक निम्न होंगे :
`O(0,0,0)A(a,0,0)`
`B(0,a,0),C(0,0,a)`
`D(a,a,0)K(a,0,a)`
`L(0,a,a),P(a,a,a)`
अतः OP की दिक्-कोज्याएँ (direction ratios ) `a-0,a-0,a-0` अर्थात `.a,a,a.` है.
अतः OP की दिक्-कोज्याएँ (direction consines )


`(a)/(sqrt(a^(2)+a^(2)+a^(2))), (a)/(sqrt(a^(2)+a^(2)+a^(2))),(a)/(sqrt(a^(2)+a^(2)+a^(2)))`
अर्थात `(1)/(sqrt3), (1)/(sqrt3), (1)/(sqrt3)` है .
इसी प्रकार AL , BK तथा CD की दिक्-कोज्याएँ (direction -cosines ) क्रमशः
`(-(1)/(sqrt3),(1)/(sqrt3), (1)/(sqrt3)), ((1)/(sqrt3), -(1)/(sqrt3), (1)/(sqrt3)), ((1)/(sqrt3), (1)/(sqrt3),-(1)/(sqrt3))` है,
मान लिया कि OP , AL , BK , CD के साथ क्रमशः `alpha, beta, lamda, delta` कोण बनानेवाली रेखा कि दिक्-कोज्याएँ l,m,n है .
तो `cos alpha =l(1)/(sqrt3)+m(1)/(sqrt3)+n(1)/(sqrt3)=(l+m+n)/(sqrt3)`
इसी प्रकार `cos beta=-(l)/(sqrt3)+(m)/(sqrt3)+(n)/(sqrt3)=(-l+m+n)/(sqrt3)`
`cos lamda=(l)/(sqrt3)-(m)/(sqrt3)+(n)/(sqrt3)=(l-m+n)/(sqrt3)`
तथा `cos delta=(l)/(sqrt3)+(m)/(sqrt3)-(n)/(sqrt3)=(l-m-n)/(sqrt3)`
अतः `cos^(2)alpha +cos ^(2)beta+cos ^(2)lamda+cos ^(2)delta`
`=((l+m+n)^(2))/(3)+((-1+m+n)^(2))/(3)+((l-m+n)^(2))/(3)+((l+m-n)^(2))/(3)`
`=4/3(l^(2)+m^(2)+n^(2))=4/3, " "(becausel^(2)+m^(2)+n^(2)=1)`