मान लीजिए कि `f = {(x,x^(2)/(1+x^(2))): x in R}R`से `R` में एक फलन है । `f` का परिसर निर्धारित कीजिए ।

Answer

परिसर `=[0,1)`

Explanation

यहांf,R से R में एक फलन है जो निम्न प्रकार परिभाषित है ।
` y = f(x) = (x^(2))/(1+x^(2))` ...(1)
`:' 1 + x^(2) ne 0`,इसलिए y,x के सभी वास्तविक मानों के लिए परिभाषित है ।
(1) से ,`y + yx^(2) = x^(2)" या "x^(2) (1-y) = y`
`:. x^(2) = y/(1-y)" या" x = pm sqrt(y/(1-y))` ....(2)
`:' x ` वास्तविक है , `:. y/(1-y) ge 0`
`hArr 0 le y lt 1`
अतः f का परिसर =[0,1).
Second method :
`f : R to R` एक फलन है , जहाँ f का प्रान्त `=R :. - infty lt x lt infty`
यहाँ `f(x) = x^(2)/(1+x^(2))."तो ," y = f(x) = x^(2)/(1+x^(2))`
अब `y = x^(2)/(1+x^(2)) = (1 + x^(2)-1)/(1+x^(2)) = 1 - 1/(1+x^(2))`
इस प्रकार `y = 1 - 1/(1+x^(2))` ...(1)
वास्तविक संख्या है `:. 0 le x^(2) lt infty`
`rArr 1 le 1 + x^(2) lt infty` [1 जोड़ने पर ]
`rArr 1 ge 1/(1+x^(2)) gt 0 " "[:' 1/infty to 0]`
`rArr - le - 1/(1+x^(2)) lt 0`
` rArr 0 le 1 - 1/(1+x^(2)) lt 1 ` [1जोड़ने पर ]
`rArr 0 le y lt 1`. [(1)से ]
अतः f का परिसर `f = [0,1) = {y : 0 le y lt 1}`.