फलन `f(x) = 1/(2-sin 3x)` का प्रान्त और परिसर ज्ञात कीजिए ।

Explanation

प्रश्न से ,`y = f(x) = 1/(2-sin 3x)`. ....(1)
यहाँ `-1le sin 3x le 1 rArr 1 ge - sin 3x ge -1`
`rArr 2 ge 2 - sin 3x ge 1` [2 जोड़ने पर ]
`:. 2 - sin 3x ne 0`
अतः सभी वास्तविक x के लिए f(x) परिभाषित है ।
`:. f ` का परिसर `= R = (-infty,infty)`
(1) से ,`2-sin 3x = 1/y`
या `sin 3x = 2 - 1/y = (2y-1)/y`
चूँकि `-1 le sin 3x le 1`
`:. - 1 le (2y-1)/y le 1 rArr - y le 2y -1 le y" "[:' y gt 0]`
`{:[((i) 2y - ge -y rArr3y ge1 or y ge 1/3 " " ...(A)),((ii) 2y-1le y rArr y le 1 " " ...(B)):}`
(A) और (B) से ,`1/3 le y le 1`
अतःf का परिसर = `[1/3,1]`.
Second method :
प्रश्न से ,`y = 1/(2-sin 3x) ` ...(1)
चूँकि `-1le sin 3x le1 :. 1 ge - sin 3x ge - 1`
`rArr 3 ge 2 - sin 3x ge 1` [2 जोड़ने पर ]
`rArr 1 le 2 - sin 3x le 3` ...(2)
`rArr 2 - sin 3x ne 0`
अतः सभी वास्तविक x के लिए y परिभाषित है ।
`:. f`का प्रान्त `=R = (-infty,infty)`.
परिसर ज्ञात करना :
(2) से ,`1 le 2 - sin 3x le 3`
`rArr 1/1 ge 1/(2-sin 3x) ge 1/3`
`rArr 1 ge y ge 1/3 rArr 1/3 le y le 1.`
अतः परिसर ` = {y : 1/3 le y le 1 } = [1/3, 1]`