चित्र में, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC तथा BD परस्पर O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं। कि OB = OD है। यदि AB = CD हो, तो दर्शाइए कि
(i) ` ar(DeltaAOB) =ar(DeltaDOC)`
(ii) `ar(DeltaACB)=ar(DeltaDCB)`
(iii) DA ।। CB अथवा, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

Explanation

(i ) त्रिभुज DOE तथा BOF में,
`OB = OD " "` [दिया है]
`angle DOE=angleBOF " " ` [शीर्षाभिमुख कोण]
`angleDEO=angleBFO`
अतः कोण-कोण-भुजा सर्वांगसमता अभिग्रहित से,
`DeltaDOE =DeltaBOF`
`rArr ar(DeltaDOE) =ar(DeltaBOF)and DE =BF " " `... (i)
त्रिभुज DEC तथा BFA में,
`angle DEC =angleBFA =90^(@)`
`DE=BF`
तथा `CD =AB`
अतः RHS सर्वांगसम अभिग्रहित से,
`DeltaCDE ~=DeltaABF`
`rArr ar(DeltaCDE)=ar(DeltaABF)and angleDCE=angleBAF " "`... (ii)
(i ) तथा (ii ) से,
`ar(DeltaDOE) +ar(DeltaCDE)=ar(DeltaBOF)+ar(DeltaABF)`
`rArr (DeltaCOD) =ar(DeltaAOB)`
(ii) दिया है,
`ar(DeltaAOB)=ar(DeltaCOD)`
`rArr(DeltaAOB) +ar(DeltaBOC) =ar(DeltaCOD) +ar(DeltaBOC)`
`rArr ar(DeltaACB)=ar(DeltaDCB)`
(iii) स्पष्ट है कि
`angleDCE=angleBAF " " ` [(ii) से ]
`rArr angleACD =angleCAB`
`rArr` DC ।। AB
तथा `DC=AB " " ` [दिया है]
अतः ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः DA ।। CB