एक चतुर्भुज ABCD इस प्रकार है कि इसका विकर्ण BD इसके क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। सिद्ध कीजिए कि BD , AC को समद्विभाजित करता है ।

Explanation

एक चतुर्भुज ABCD जिसमें विकर्ण BD से समद्विभाजित करता है, अर्थात
`ar(DeltaABD)=ar(DeltaBDC)`
रचना: AC को मिलाये।
माल लीजिये कि AC तथा BD , बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है।
`ALbotBD` तथा `CMbotBD` खींचिए।
सिद्ध करना है : `AO=OC`
उपपत्ति : चूँकि `ar(DeltaABD)=ar(DeltaBDC)`
अतः `DeltaABD` तथा `DeltaABC` एक ही आधार पर AB पर है तथा इनके क्षेत्रफल बराबर है, अतः इनकी संगत ऊँचाई बराबर है, अर्थात `Al = CM `
अब `Delta ALO ` तथा `DeltaCMO ` में
`angle1 =angle2 " " `[शीर्षामुख कोण]
`angleALO=angleCMO " "` [प्रत्येक कोण `90^(@)`]
तथा `AL = CM " "`[सिद्ध किया है]
अतः कोण-कोण-भुजा सर्वांगसमता कसौटी से
`DeltaALO~=DeltaCMO`
`rArr AO=OC`
`rArr BD, AC` को समद्विभाजित करती है।