त्रिभुज ABC की भुजाओं BC , CA तथा AB के मध्य-बिंदु क्रमशा D , E तथा F है। सिद्ध कीजिए कि BDEF एक समांतर चतुर्भुज है जिसका क्षेत्रफल `DeltaABC ` का आधा है। साथ ही, सिद्ध कीजिए कि `ar(DeltaDEF)=(1)/(4)ar(DeltaABC)` तथा `ar("।।"^(gm)BDEF)=(1)/(2)ar(DeltaABC)`

Explanation

चूँकि भुजाओं BC तथा AC के मध्य-बिंदु क्रमशः D तथा E है।
`therefore DE"||"BA rArr DE"||"BF`
इसी प्रकार FE||BD. अतः BDEF एक समांतर चतुर्भुज है। इसी प्रकार DCEF तथा AFDE समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि `"||"^(gm)BDEF` का विकर्ण DF है।
`therefore ar(DeltaBDF)=ar(DeltaDEF) " "`...(i)
`"||"^(gm)` DCEF का विकर्ण DE है।
`therefore ar(DeltaDCE)=ar(DeltaDEF) " "`...(ii)
`"||"^(gm)` AFDE का विकर्ण FE है।
`therefore ar(DeltaAFE)=ar(DeltaDEF) " "` ...(iii)
(i), (ii) तथा (iii) से
`ar(DeltaBDF)=ar(DeltaDCE)=ar(DeltaAFE)=ar(DeltaDEF)`
परन्तु `ar(DeltaBDF)+ar(DeltaDCE)+ar(DeltaAFE)+ar(DeltaDEF)=ar(DeltaABC )`
`therefore 4ar(DeltaDEF)=ar(DeltaABC)`
`rArr ar(DeltaDEF)=(1)/(4)ar(DeltaABC)`
अब `ar("||"^(gm)BDEF)=2ar(DeltaDEF)`
`rArr ar("||"^(gm)BDEF)=2xx(1)/(4)ar(DeltaABC)=(1)/(2)ar(DeltaABC)`