समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं AB , BC , CD तथा DA के मध्य-बिंदु क्रमशः E, F, G, H है। सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज EFGH एक समांतर चतुर्भुज है तथा इसका क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल ABCD का आधा है।

Explanation

दिया है : एक चतुर्भुज ABCD जिसमें भुजाओं AB , BC , CD तथा DA के मध्य-बिंदु क्रमशः E, F, G, H है।
सिद्ध करना है : (i ) चतुर्भुज EFGH एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) `ar("||"^(gm)EFGH)=(1)/(2)ar("||"^(gm)ABCD)`
रचना : AC तथा HF को मिलाइये।
उपपत्ति : `DeltaABC ` में, AB तथा BC के मध्य-बिंदु क्रमशः E तथा F है।
`therefore` EF || AC तथा `EF=(1)/(2)AC " "` ...(i)
इसी प्रकार, `DeltaADC ` में, DC तथा AD के मध्य-बिंदु क्रमशः G तथा H है।
`therefore ` GH || AC तथा `GH=(1)/(2)AC " "`...(ii)
(i ) तथा (ii ) से
GH || EF तथा GH = EF
अर्थात चतुर्भुज EFGH में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर तथा समांतर है। अतः यह EFGH एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
`therefore AD=BC` तथा AD || BC
`rArr (1)/(2)AD=(1)/(2)BC` तथा AD || FC
`rArr HD =FC` तथा HD || FC
`rArr ` HDCF एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि `DeltaHGF` तथा `"||"^(gm)` HDCF एक आधार HF पर तथा समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित है।
`therefore ar(DeltaHGF)=(1)/(2)ar("||"^(gm)HDCF)" "`...(iii)
इसी प्रकार, `DeltaHEF` तथा `"||"^(gm)`HaBF एक ही आधार HF पर तथा समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
`therefore ar(DeltaHEF)=(1)/(2)ar("||"^(gm)HABF) " " ` ...(iv)
(iii ) तथा (iv ) को जोड़ने पर
`ar(DeltaHGF)+ar(DeltaHEF)=(1)/(2)[ar("||"^(gm)HDCF)+ar("||"^(gm)HABF)]`
`rArr ar("||"^(gm)EFGH)=(1)/(2)ar("||"^(gm)ABCD)`