समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा AB को किसी बिंदु P तक बढ़ाया गया है। बिंदु A से CP के समांतर खींची गयी रेखा CB के आगे बढ़ाये गये भाग को Q पर मिलती है। और समांतर चतुर्भुज PBQR को पूरा करती है। सिद्ध कीजिए कि
`ar("।।"^(gm)ABCD)=ar("।।"^(gm)BPRQ)`

Explanation

रचना : AC तथा PQ को मिलाइये।
सिद्ध करना है : `ar("||"^(gm)ABCD)=ar("||"^(gm)BPRQ)`
उपपत्ति : चूँकि AC तथा PQ क्रमशः चतुर्भुजों ABCD तथा BPRQ के विकर्ण हैं।
`therefore ar(DeltaABC)=(1)/(2)ar("||"^(gm)ABCD) " " `...(i)
तथा `ar(DeltaPBQ)=(1)/(2)ar("||"^(gm)BPRQ) " " `...(ii)
अब `DeltaACQ` तथा `DeltaAQP` एक ही आधार AQ तथा समान समांतर रेखाओं AQ तथा CP के बीच स्थित हैं।
`therefore ar(DeltaACQ)=ar(DeltaAQP)`
`rArr ar(DeltaACQ)=ar(DeltaABQ)=ar(DeltaAQP)-ar(DeltaABQ)`[ दोनों पक्षों में से `ar(DeltaABQ)` घटाने पर ]
`rArr ar(DeltaABC)=ar(DeltaBPQ)`
`rArr (1)/(2)ar("||"^(gm)ABCD)=(1)/(2)ar("||"^(gm)BPRQ)` [(i) तथा (ii) का प्रयोग करने पर]
`rArr ar("||"^(gm)ABCD)=ar("||"^(gm)BPRQ)`