चित्र में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि
`ar(DeltaBCP)=ar(DeltaDPQ)`

Explanation

रचना : AC को मिलाइये ।
उपपत्ति : चूँकि `DeltaAPC` तथा `DeltaBPC` एक ही आधार PC पर तथा समान समांतर रेखाओं PC तथा AB के बीच स्थित है।
`therefore ar(DeltaAPC)=ar(DeltaBPC) " "`...(i)
अब ABCD एक समांतर चतुर्भुज है ।
`rArr AD=BC`
`rArr AD=CQ " "`[`becauseBC=CQ` (दिया है)]
चूँकि AD || CQ तथा AD = CQ.
अतः चतुर्भुज mkADQC में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर तथा समांतर है।
`therefore` ADQC एक समान्तर चतुर्भुज है।
`rArr AP=PQ` तथा `CP=DP " "` [`because "||"^(gm)` के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित होते है। ]
अब `DeltaAPC` तथा `DeltaDPQ` में
`AP=PQ" "`[ ऊपर सिद्ध किया है]
`angleAPC=angleDPQ " "` [शीर्षाभिमुख कोण]
तथा `PC=PD`
अतः भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता कसौटी से
`DeltaAPC~=DeltaDPQ`
`rArr ar(DeltaAPC)=ar(DeltaDPQ)`...(ii) [`therefore` सर्वांगसमता त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते है]
(i ) तथा (ii ) से
`ar(DeltaBCP)=ar(DeltaDPQ)`