एक मीनार, जिसकी 40 ऊँचाई मीटर है, से एक पत्थर ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा में 10 मी/से के वेग से फेंका जाता है । गणना कीजिए की वह भूतल पर कितने समय पश्चात पहुँचेगा? (मान लीजिए कि `g = 10` मी`//`से`""^(2)` है )

Options

A. 4 सेकण्ड
B. 8 सेकण्ड
C. 6 सेकण्ड
D. 2 सेकण्ड

Answer

A

Explanation

विधि (i) इस विधि में पत्थर की गति को सतत मानकर (continuous single motion) यह गणना कर लें की 40 मीटर के विस्थापन में पत्थर को कितना समय लगा । यहाँ ध्यान दिया जाना चाहिए कि मीटर तथा `h = - 40` मीटर तथा `u = 10 ` मी/से एवं `g = -10 "मी"//"से"^(2)` लिया जायेगा ।
अतः गति के समीकरण `h = ut - 1/2 "gt"^(2)` का उपयोग करने पर
`- 40 = 10 xx t - 1/2 xx 10t^(2)`
अथवा `5t^(2) - 10t - 40 = 0`
`5t^(2) -20 t + 10 t-40 = 0`
अथवा `(t-4) (5t +10) = 0`
`5t = -10` अथवा `t = - 2` सेकण्ड जो की ऋणात्मक होने के कारण अग्राह है ।
अतः `t = 4` सेकण्ड ।
विधि (ii) दूसरी विधि में इस प्रश्न को दो चरणों में बाँट लिया जाये। प्रथम चरण फेंके जाने से लेकर महत्तम ऊँचाई तक पहुँचने का तथा द्वितीय चरण महत्तम ऊँचाई से शून्य प्रारम्भिक वेग से धरातल तक आने का । माना इन गतियों में क्रमश: `t_(1)` एवं `t_(2)` समय लगता है ।
तब ऊर्ध्वाधर ऊपर की गति के लिए ,
किन्तु महत्तम ऊँचाई के लिए `v = 0, u= 10` मी/से तथा `t = t_(1)`
अतः `0 = 10-10t_(1)` अथवा `t_(1) = 1` सेकण्ड
पुनः महत्तम ऊँचाई से धरातल के लिए,
पत्थर द्वारा ऊपर फेंके जाने पर प्राप्त महत्तम ऊँचाई
`v^(2) = u^(2) - 2gh`
`0 = 10 xx10 -2 xx 10 h`
अथवा `h = (10xx10)/(2xx10)` मीटर `= 5` मीटर । अतः महत्तम ऊँचाई से धरातल तक तय की जाने वाली कुल दूरी `= 5` मीटर+ `40` मीटर = 45मीटर
अतः इस दूरी को तय करने में लगा समय
`h = ut + 1/2 "gt"^(2)`
परन्तु `u = 0, h = 45` मीटर एवं `g = 10"मी"//"से"^(2)`
अतः `t = sqrt((2h)/(g)) = sqrt((2xx45)/(10)) = 3`सेकण्ड
इस प्रकार यात्रा में लगा कुल समय =` = 1+3=4` सेकण्ड ।
विधि (iii) प्रश्न को तीन चरणों में विभाजित करके भी हल कर सकते है -
प्रथम चरण : महत्तम ऊँचाई तक पहुँचने का
द्वितीय चरण : महत्तम ऊँचाई से वापस मीनार की चोटी तक पहुँचने का
तृतीय चरण : चोटी से धरातल तक पहुँचने का
माना प्रथम चरण का समय `t_(1)` द्वितीय चरण का `t_(2)` जो की `t_(1)` के ही बराबर होगा तथा तृतीय चरण का समय `t_(3)` है । तब चोटी से महत्तम ऊँचाई तक की यात्रा के लिए,
`v = u-"gt"`
`0 = 10-10t_(1)`अथवा `t_(1) = 1` सेकण्ड
महत्तम ऊँचाई से मीनार की चोटी तक का समय `t_(2) = t_(1) = 1` सेकंड अब चोटी से धरातल तक की यात्रा के लिए, महत्तम ऊँचाई से चोटी तक की यात्रा में पत्थर द्वारा अर्जित वेग
`v = u + "gt" = 0 + 10 xx 1 = 10` मी/से
यही वेग चोटी से पृथ्वी तक की यात्रा का प्रारम्भिक वेग होगा , अतः सूत्र `h = ut_(3) + 1/2 "gt"_(3)^(2)`में `h = 40`मी,`u = 10` मी/से तथा `g = 10 "मी"//"से"^(2)` प्रतिस्थापित करने पर `40 = 10t_(3) + 1/2 xx 10t_(3)^(2)`
अथवा `40 = 10t_(3) + 5t_(3)^(2)`
अथवा `5t_(3)^(2) + 10t_(3) - 40 = 0`
`t_(3)^(2) + 2t_(3) - 8 = 0`
अथवा `t_(3) = 2`सेकण्ड
अतः यात्रा का कुल समय ।`t = t_(1) + t_(2) + t_(3)`
`= 1+1+2= 4`सेकण्ड