`0.012 kg` द्रव्यमान की कोई गोली `70ms^(-1)` की क्षैतिज चाल से चलते हुए 0.4 kg द्रव्यमान के लकड़ी के गुटके से टकराकर गुटके के सापेक्ष तुरन्त ही विरामावस्था में आ जाती है । गुटके को छत से पतली तारों द्वारा लटकाया गया है। परिकलन कीजिए कि गुटका किस ऊँचाई तक ऊपर उठता है? गुटके में पैदा हुई ऊष्मा की मात्रा का भी अनुमान लगाइए ।

Explanation

प्रश्नानुसार, गोली का द्रव्यमान m = 0.012 किग्रा, गोली का प्रारम्भिक वेग u = 70 मी/से , गुटके का द्रव्यमान M = 0.4किग्रा,
गुटके का प्रारम्भिक वेग `u'=0`
चूँकि टकराने के बाद गोली गुटके के भीतर ही विराम में आ जाती है, अतः गोली + गुलके निकाय का संयुक्त द्रव्यमान = `M+m`.
माना टक्कर के पश्चात निकाय का वेग व है तब संवेग संरक्षण सिद्धांत से,

अथवा `v=(m u+Mu')/(M+m)`
`=(0.012xx70+0.4xx0)/(0.012+0.4)`मीटर/सेकण्ड
अब इस वेग के प्रभाव में निकाय (गोली + गुटका ) द्वारा अर्जित गतिज ऊर्जा `(1)/(2)(M+m)v^(2)` होगी जिसके कारण वह अपनी साम्यावस्था से दूसरी ओर विस्थापित हो जायेगा । माना साम्यावस्था से निकाय h ऊँचाई ऊपर उठ जाता है। तब यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षण सिद्धांत से यदि वायु आदि के प्रतिरोध को नगण्य माने, तो साम्यावस्था में गतिशील गोली के टकराने से अर्जित ऊर्जा h ऊँचाई की स्थिति में स्थितिज ऊर्जा के तुल्य होना चाहिए ।
अतः `(1)/(2)(m+M)v^(2)=(M+m)gh" ...(i)"`
`therefore" "h=(v^(2))/(2g)=((2.04)^(2))/(2xx9.8)=0.212` मीटर = 21.2 सेमी ।
निकाय की प्रारम्भ में सम्पूर्ण ऊर्जा
`=(1)/(2)m u^(2)=(1)/(2)xx0.012xx(70)^(2)=29.4` जूल
तथा निकाय की बाद में सम्पूर्ण ऊर्जा `=(M+m_gh.`
परन्तु समीकरण (i) से, `(M+m)gh=(1)/(2)(m+M)v^(2)`
अतः निकाय की बाद में सम्पूर्ण ऊर्जा `=(1)/(2)(m+M)v^(2)`
`=(1)/(2)(0.012+0.4)xx(2.04)^(2)` जूल= 0.86 जूल
अतः स्पष्ट है कि संघट्ट के कारण निकाय की ऊर्जा में क्षति हो रही है सम्भवतः यही ऊर्जा जिसकी हानि हुई है ऊष्मा के रूप में बदल गयी हो ।
अतः उतपन्न ऊष्मा `=29.4-0.86"जूल "=28.54"जूल "।`