किसी कण कि गति को समीकरण `s = 10t - 2t^(2)` से व्यक्त किया जाता है , जिसमें s मीटर में तथा t सेकण्ड में मापे गये हैं। कण द्वारा समय-अन्तराल 2 सेकण्ड से 5 सेकण्ड के मध्य चली गयी दूरी कि गणना कीजिए ।

Explanation

व्यंजक `s = 10t -2t^(2)` में `2t^(2)` ऋणात्मक चिन्ह के साथ है । अतः निस्सन्देह यह वेग-परिवर्तन का प्रकरण है । अब वेग-परिवर्तन किस अन्तराल में हो रहा है इसकी गणना के लिए c के व्यंजक को t के सापेक्ष अवकलित करके तात्क्षणिक वेग का व्यंजक प्राप्त करना होगा ।
`v = (ds)/(dt) = (d)/(dt) = (d)/(dt) = (10t-2t^(2))`
अथवा `v = 10 -4t"......."(i)`
जिससे स्पष्ट है की वेग-परिवर्तन `t = 2.5`सेकण्ड पर हो रहा है (चूँकि `t = 2.5` सेकण्ड पर वस्तु का वेग v शून्य हो रहा है और इसी के बाद उसका ऋणात्मक होगा ) । अब चूँकि कण का वेग `t = 2` सेकण्ड से `t = 2.5` सेकण्ड के मध्य धनात्मक एवं `t = 2.5` सेकण्ड से `t = 5` सेकण्ड के मध्य ऋणात्मक होगा । अतः चली गयी दूरी का परिकलन दो चरणों (`2-2.5` सेकण्ड व `2.5-5` सेकण्ड) में करना पड़ेगा ।
अतः कण द्वारा चली गयी दूरी ,
`s = int_(2)^(2.5)vdt+int_(2.5)^(5)vdt`
अथवा `s = int_(2)^(2.5)(10-4t)dt+int_(2.5)^(5)(10-4)dt`
`=10[t]_(2)^(2.5)-2[t^(2)]_(2)^(2.5)+10[t]_(2.5)^(5)-2[t^(2)]_(2.5)^(5)`
`= 5-4.5+ 25- 37.5 =12`मीटर।