किसी 200 m ऊँची खड़ी चटट्न के किनारे से दो पत्थरों को एक साथ ऊपर की और `15 ms^(-1)` तथा `30ms^(-1)` की प्रारम्भिक चाल से फेंका जाता है । इसका सत्यापन कीजिए कि नीचे दिखाया गया ग्राफ (चित्र) पहले पत्थर के सापेक्ष दूसरे पत्थर की आपेक्षिक स्थिति का समय के साथ परिवर्तन को प्रदर्शित करता है । वायु के प्रतिरोध को नगण्य मानिए और यह मानिए कि जमीन से टकराने के बाद पत्थर ऊपर की और उछलते नहीं । मान लीजिए `g = 10 ms^(-2)` । ग्राफ के रेखीय व वक्रीय भागों के लिए समीकरण लिखिए ।

Explanation

पहले पत्थर के लिए : माना पृथ्वी का तल पत्थर की स्थिति की माप के लिए मूलबिंदु है । प्रारम्भिक स्थिति `x_(0) = 200` मीटर
प्रारम्भिक वेग, `u_(1) = 15 " मी" "से"^(-1), a = - g = - 10 "मी" "से"^(-2)`
सूत `x_(1) = x_(0) + u_(1)t + 1/2 at^(2)` से
`x_(1) = 2000 +15t - 1/2 xx 10t^(2) = 200 + 15t - 5t^(2)"........"(i)`
जब पहला पत्थर पृथ्वी से टकराता है , तो `x_(1) = 0`
`:. 200+ 15t - 5t^(2) = 0`
अथवा `5t^(2) - 15 t - 200 = 0` अथवा `t^(2) =- 3t - 40 = 0`
इससे `t = - 5` सेकण्ड या 8 सेकण्ड
चूँकि t = - 5 सेकण्ड अनुमेय नहीं है । `:. t = 8` सेकण्ड ।
दूसरे पत्थर के लिए : प्रारम्भिक वेग `u_(2) = 30 "मी" "से"^(-1)` अतः सूत्र
`x_(2) = x_(0) + u_(2) t + 1/2 at^(2)`
`x_(2) = 200 +30t - 1/2 xx 10t^(2) "......."(ii)`
जब दूसरा पत्थर पृथ्वी से टकराता है , तो `x_(2) = 0`
`:. 200+30t - 5t^(2) = 0` अथवा `t^(2) - 6t - 40 = 0`
इससे `t = - 4` सेकण्ड या 10 सेकण्ड
चूँकि `t = - 4` सेकण्ड अनुमेय नहीं है । `:. t = 10` सेकण्ड
दूसरे पत्थर की पहले पत्थर के सापेक्ष स्थिति,
`x_(2) - x_(1) = 15t"........."(iii) `
स्पष्टतः `x_(2) - x_(1)` तथा t के बीच ग्राफ सरल रेखा है
यह समीकरण केवल 8 सेकण्ड तक के लिए उपयुक्त है । 8 सेकण्ड पश्चात केवल दूसरा पत्थर गति में है , अतः इसका गति समीकरण (ii) से प्रदर्शित होगा । अर्थात
`x_(2) = 200 +3t - 5t^(2)".........."(iv)`
यह एक द्विघातीय समीकरण जिसका x-t ग्राफ एक वक्र होगा जो की ग्राफ के भाग AB से प्रदर्शित है , यह वक्र से सेकण्ड के बीच समीकरण (iv) को सन्तुष्ट करता है ।