मान लीजिए कि `A=[{:(0,1),(0,1):}]` हो तो दिखाइए कि सभी `n in N` के लिए `(al+bA)^(n)=a^(n)I+na^(n-1)bA`, जहाँ I कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है ।

Explanation

यहाँ `A=[{:(0,0),(0,1):}]` माना `P(n):(al+bA)^(n)=a^(n)I+na^(n-1)bAn=1` के लिये,
`P(1)=(al+bA)^(1)=a^(1)*I+1*a^(1-1)*bA=al+bA` जो सत्य है ।
`thereforeP(n),n=1` के लिये सत्य है ।
`thereforeP(k):(al+bA)^(k)=a^(k)I+ka^(k-1)bA` . . . (1)
n = k +1 के लिये,
`P(k+1):(al+bA)^(k+1)=(al+bA)^(k)*(al+bA)`
`=(a^(k)I+ka^(k-1)bA)*(al+bA)` समीकरण (1) से
`=a^(k)+1I+a^(k)IbA+ka^(k)bAI+ka^(k-1)b^(2)A^(2)`
`=a^(k+1)I+a^(k)bA+ka^(k)bA+0`
`{because a^(2)=[{:(0,1),(0,0):}][{:(0,1),(0,0):}]=[{:(0,0),(0,0):}]=0}`
`=a^(k+1)I+(k+1)a^(k)bA`
`rArrP(n),n=k+1` के लिये भी सत्य है ।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से P(n),n के सभी प्राकृतिक मानों के लिये सत्य है ।