यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं , की AB =BA है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि `AB^(n)=B^(n)A` होगा । इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त `ninN` के लिए `(AB)^(n)=A^(n)B^(n)` होगा|

Explanation

प्रथम भाग

प्रश्नानुसार ,
AB = BA . . . (1)

सिद्ध करना है
`AB^(n)=B^(n)A`

n = 1 के लिये
`AB^(1)=B^(1)A`
`rArrAB=BA`
जो दिया है ।
अतः दिया कथन n =1 के लिये सत्य है ।

माना दिया कथन n = k के लिये सत्य है ।
`thereforeAB^(k)=B^(k)A` . . . (2)

n = k +1 के लिये,
`AB^(k+1)=A(B^(k)B)`

`=(AB^(k))B`
(गुणनफल के साहचर्य नियम से)

`=(B^(k)A)B`
(समीकरण (2) से)

`=B^(k)(AB)`
(गुणनफल के साहचर्य नियम से)

`=B^(k)(BA)`
(समीकरण(1) से)

`=(B^(k)B)A`
(गुणनफल के साहचर्य नियम से)

`=B^(k+1)A`

`rArr` दिया कथन n = k +1 के लिये भी सत्य है।

`rArr` अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से `AB^(n)=B^(n)A,n` के सभी प्राकृतिक मानों के लिये सत्य है।

दूसरा भाग

सिद्ध करना है
`(AB)^(n)=A^(n)B^(n)`

n =1 के लिये,
`(AB)^(1)=A^(1)B^(1)`
`rArrAB=AB`
जो सत्य है ।
`therefore` दिया कथन n =1 के लिये सत्य है।

माना दिया कथन n =k के लिये सत्य है ।
`therefore(AB)^(k)=A^(k)B^(k)` . . . (3)

n = k + 1 के लिये
`(AB)^(k+1)`
`=(AB)^(k)(AB)`

`=(A^(k)B^(k))(AB)`
(समीकरण (3) से)

`=A^(k)(B^(k)A)B`
(गुणनफल के साहचर्य नियम से)

`=A^(k)(AB^(k))B`
(समीकरण (2) से)

`=(A^(k)A)(B^(k)B)`
(गुणनफल के साहचर्य नियम से)

`=A^(k+1)B^(k+1)`
`rArr` दिया कथन n= k+1 के लिये भी सत्य है ।

अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से `(AB)^(n)=A^(n)B^(n),n` के सभी प्राकृतिक मानों के लिये सत्य है।
यही सिद्ध करना था।