यदि a,b, और c वास्तविक संख्याएं हों और सारणिक `Delta=|(b+c,c+a,a+b),(c+a,a+b,b+c),(a+b,b+c,c+a)|=0` हो दर्शाइए कि या तो `a+b+c=0` या `a=b=c` है।

Explanation

`|(b+c,c+a,a+b),(c+a,a+b,b+c),(a+b,b+c,c+a)|=0`
`implies|(2a+2b+2c,c+a,a+b),(2a+2b+2c,a+b,b+c),(2a+2b+2c,b+c,c+a)|=0` ltbgt `(C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3))`
`implies (2a+2b+2c)|(1,c+a,a+b),(1,a+b,b+c),(1,b+c,c+a)|=0`
`implies2(a+b+c)|(0,c-b,a-c),(0,a-c,b-a),(1,b+c,c+a)|=0`
`(R_(1)toR_(1)-R_(2),R_(2)toR_(2)-R_(3))`
`implies2(a+b+c).1|(c-b,a-c),(a-c,b-a)|=0`
(`C_(1)`से विस्तार करने पर)
`implies 2(a+b+c)[(c-b)(b-a)-(a-c)^(2)]=0`
`implies2(a+b+c)(bc-b^(2)-ac+ab-a^(2)-c^(2)+2ac)=0`
`implies2(a+b+c)(-a^(2)-b^(2)-c^(2)+ab+bc+ca)=0`
`implies2(a+b+c)(-a^(2)-b^(2)-c^(2)+ab+bc+ca)=0`
`implies-(a+b+c)(2a^(2)+2b^(2)+2c^(2)-2ab-2bc-2ca)=0`
`implies(a+b+c)[(a-b)^(2)+(b-c)^(2)+(b-c)^(2)+(c-a)^(2)]=0`
`impliesa+b+c=0` या `(a-b)^(2)+(b-c)^(2)+(c-a)^(2)=0`
`impliesa+b+c=0` या `a-b=0,b-c=0,c-a=0`
`impliesa+b+c=0`या `a=b=c`.