यदि किसी समकोण त्रिभुज की एक भुजा और कर्ण का योगफल दिया है, तो सिद्ध कीजिए की त्रिभुज का क्षेत्रफल अधिकतम होगा जबकि दी गयी भुजा और कर्ण के बीच का कोण `pi//3` है.

Explanation

माना `DeltaABC` में `angleB=90^(@)` है.
अब माना `AB=x` और `AC=y`है, तो `x+y=k` जो अचर दिया है
`thereforeBC=sqrt(AC^(2)-AB^(2))=sqrt(y^(2)-x^(2))=sqrt((k-x)^(2)-x^(2))=sqrt(k^(2)-2kx)`
`DeltaABC` का क्षेत्रफल
`Delta=1/2xxABxxBC=1/2xx x xxsqrt(k^(2)-2kx)`
`impliesDelta^(2)=1/4x^(2)(k^(2)-2kx)`
माना `Delta^(2)=S`
`thereforeS=1/4k(kx^(2)-2kx)`
`implies(dS)/(dx)=1/4k(2kx-6x^(2))`
उच्चिष्ठ/निमनिष्ठ के लिए
`(dS)/(dx)=0`
`implies2kx-6x^(2)=0`
`impliesx=k/3`
`(d^(2)S)/(dx^(2))=1/4k(2k-12x)`
`x=k/3` पर
`( d^(2)S)/(dx^(2))=1/4k(2k-4k)=-(k^(2))/(2)lt0`
`thereforex=k/3` पर S उच्चिष्ठ है.
`impliesx=k/3` पर `Delta`उच्चिष्ठ है. `x=k/3` पर `y=k-k/3=(2k)/(3)`
यदि `angleABC=theta, ` तो
`cos theta=(AB)/(AC)=x/y=(k//3)/(2k//3)=1/2`
`impliestheta=pi//3`
अतः अधिकतम क्षेत्रफल के लिये अभीष्ट कोण `pi//3`है.