सिद्ध कीजिए कि शंकु के अंतर्गत बने लंबवृत्तीय बेलन का वाकरपृष्ठ महत्तम तब होगा जब उसकी त्रिज्या शंकु कि त्रिज्या कि आधी होगी.

Explanation

माना शंकु की ऊंचाई h और अर्धशिर्ष कोण `alpha` है.
माना बेलन की त्रिज्या x है.
बेलन की ऊंचाई =OO
`=AO-AO'`
`=h-x cot alpha`
`therefore` बेलन का वाकरपृष्ठ
`C=2pix.(h-x cotalpha)`
`=2pi(hx-x^(2)cot alpha)`
`implies(dC)/(dx)=2pi(h-2x cot alpha)`
उच्चिष्ठ/निमनिष्ठ के लिये
`(dC)/(dx)=0`
`impliesh-2xcot alpha=0`
`impliescot alpha=(h)/(2x)`
`impliesh/r=(h)/(2x)` जहाँ r शंकु की त्रिज्या है.
`impliesx=r/2`
और `(d^(2)C)/(dx^(2))=2pi(0-2cot alpha)=-4picot alphalto`
`impliesC` का मान महत्तम है.
अतः बेलन का वक्र-पृष्ठ महत्तम होगा यदि `x=r//2` अर्थात बेलन की त्रिज्या, शंकु की त्रिज्या की आधी है.