अन्तराल ज्ञात कीजिए जिसमे निम्नलिखित फलन f निरन्तर वृद्धिमान या हासमान है: जिसमे :
`f(x)=x^(2)+2x+5`

Explanation

(a) `f(x)=x^(2)+2x+5`
`impliesf'(x)=2x+2`
माना `f'(x)=0`

`implies2x+2=0`
`impliesx=1`

`thereforef(x),(-oo,-1)` में निरन्तर हासमान तथा `(-1,oo)` में निरन्तर वृद्धिमान है.
(b) `f'(x)=10-6x-2x^(2)`
`impliesf'(x)=-6-4x`

माना `f'(x)=0`
`implies-6-4x=0`
`impliesx=-3/2`

`thereforef(x), (-oo,-(3)/(2))` में निरन्तर हासमान तथा `(-(3)/(2),oo)` में निरन्तर वृद्धिमान है.
(c) `f(x)=-2x^(3)-9x^(2)-12x-1`
`impliesf'(x)=-6x^(2)-18x-12`
`=-6(x^(2)+3x+2)`
`=-6(x+1)(x+2)`

माना `f'(x)=0`
`implies-6(x+1)(x+2)=0`
`impliesx+1=0`या `x+2=0`
`impliesx=-1` या `x=-2`

`thereforef(x),(-2,-1)` में निरन्तर हासमान तथा `(-oo,-2)uu(-1,oo)` में नियंतर वृद्धिमान है.
(d) `f(x)=6-9x-x^(2)`
`impliesf'(x)=-0-2x`

माना `f'(x)=0`
`implies-9-2x=0`
`impliesx=(-9)/(2)`

`thereforef(x),(-oo,(-9)/(2))` में हासमान तथा `((-9)/(2),oo)` में निरन्तर वृद्धिमान है.
(e) `f(x)=(x+1)^(3)(x-3)^(3)`
`impliesf'(x)=(x+1)^(3).3(x-3)^(2)+(x-3)^(3).3(x+1)^(2)`
`=3(x+1)^(2)(x-3)^(2)(x+1+x-3)=6(x+1)^(2)(x-3)^(2)(x-1)`
यदि `f'(x)gt0`
तो `6(x+1)^(2)(x-3)^(2)(x-1)gt0, " "x ne-1,ne3`
`impliesx-1gt 0`
`impliesx gt1`
`therefore` फलन f(x), अन्तराल `(1,oo),-{3}`में निरन्तर वृद्धिमान है
पुनः `f'(x)lt0`
`implies3(x+1)^(2)(x-3)^(2)(x-1)lt0x ne-1,x ne3`
`impliesx-1lt0`
`implies x lt 1`
`therefore` फलन f(x), अन्तराल `(-oo,1)-{-1}` में निरन्तर हासमान है.