दिए वक्रो पर निर्दिष्ट बिन्दुओ पर स्पर्श रेखा के समीकरण ज्ञात कीजिए:
(i)` y=x^(3)` के (0,0) पर
(ii) `x=cos t, y=sint` के `t=(pi)/(4)` पर

Explanation

दिया वक्र `y=x^(4)-6x^(3)+13x^(2)-10x+5`
`implies(dy)/(dx)=4x^(3)-18x^(3)+26x-10`
बिन्दु (0,5)पर
स्पर्श रेखा का प्रवणता `m=0-0+0-10=-10`
`implies10x+y-5=0`
अभिलम्ब का समीकरण
`y-5=1/10(x-0)`
`implies10y-50=x`
`=rarrx-10y+50=0`
(ii) दिया वक्र `y=x^(4)-6x^(3)+13x^(2)-10x+5`
`implies(dy)/(dx)=4x^(3)-18x^(2)+26x-10`
बिन्दु (1,3) पर
स्पर्श रेखा की प्रवणता `m=4-18+26y-10=2` तथा स्पर्श रेखा का समीकरण k
`y-3=-1/2(x-1)`
`implies2y-6=-x+1`
`impliesx+2y-7=0`
(iii) दिया वक्र
` y=x^(3)`
`implies(dy)/(dx)=3x^(2)`
बिन्दु (1,1)पर
स्पर्श रेखा की प्रवणता `m=3(1)^(2)=3` तथा स्पर्श रेखा का समीकरण
`y-1=3(x-1)`
`implies3x-y-2=0`
अभिलम्ब का समीकरण
`y-1=-1/3(x-1)`
`implies3y-3=-x+1`
`impliesx+3y-4=0`
(iv) वक्र का समीकरण `y=x^(2)`
`implies(dy)/(dx)=2x`
बिन्दु (0,0)पर स्पर्श रेखा की प्रवणता m=0 तथा स्पर्श रेखा का समीकरण
`y-0=0(x-0)`
`impliesy=0`
अभिलम्ब का समीकरण
`y-0=(-1)/(0)(x-0)`
`impliesx=0`
(v) `x=cos t`
`implies(dx)/(dt)=-sin t`
`y=sin t`
`implies(dy)/(dt)=cos t`
`therefore (dy)/(dx)=(dy//dt)/(dx//dt)=(cos t)/(- sin t)=-cot t`
`t=(pi)/(4)`
`x_(1)=cos ""(pi)/(4)=(1)/(sqrt2)` और `y_(1)=sin ""(pi)/(4)=-`
`therefore` स्पर्श रेखा का समीकरण
`y-(1)/(sqrt2)=-1(x-(1)/(sqrt2))`
`implies x+y=(2)/(sqrt2)implies x+y=sqrt2`
अभिलम्ब का समीकरण `y-(1)/(sqrt2)=1(x-(1)/(sqrt2))`
`impliesx=y`