सिद्ध कीजिए की एक दिए वृत्त के अंतर्गत सभी आयतो में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है.

Explanation

माना दिये गये वृत्त की त्रिज्या 'r ' है. इस वृत्त के अंतर्गत एक आयत ABCD है. जिसका विकर्ण AC =2r है.

माना AB =x और BC =y है.
`DeltaABC ` में
`AB^(2)+BC^(2)=AC^(2)`
`impliesx^(2)+y^(2)=(2r)^(2)`
`impliesy^(2)=4r^(2)-x^(2)" "(1 ) `
अब आयत का क्षेत्रफल `A=x*y`
`impliesA=sqrt(4r^(2)-x^(2))`
`impliesA^(2)=x^(2)(4r^(2)-x^(2))`
माना `Z=A^(2)`
`impliesZ=4r^(2)x^(2)-x^(4)`
`implies(dz)/(dx)=8r^(2)x-4x^(3)`
उच्छिष्ट/निम्निष्ट मान के लिये
और `(dZ)/(dx)=0`
`implies8r^(2)r-4x^(3)=0`
`impliesx^(2)=2r^(2)`
`(d^(2)Z)/(dr^(2))=8r^(2)-12x^(2)`
`x^(2)=2r^(2)` पर
`(d^(2)Z)/(dr^(2))=8r^(2)-24r^(2)=-16r^(2)lt0`
`impliesx^(2)=2r^(2)` पर Z उच्छिष्ट है.
`x^(2)=2r^(2)` पर `A^(2)` उच्छिष्ट है.
`impliesx^(2)=2r^(2)` पर A उच्छिष्ट है.
अब `x^(2)=2r^(2)`
`implies2x^(2)=4r^(2)=x^(2)+y^(2)` [समीकरण (1 ) से]
`impliesx^(2)=y^(2)`
`impliesx=y`
अतः अधिकतम क्षेत्रफल वाला आयत, एक वर्ग है.