सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले कि आयतन का `8/27` होता है.

Explanation

मान लीजिए कि `OC=x, CQ=r`
अब `OA=R` (दिया है)
शंकु कि ऊँचाई `=h=x+R" "...(1)`
`therefore` शंकु का आयतन `=V=1/3pir^(2)h`
अब समकोण `DeltaOCQ` में, `OC^(2)+CQ^(2)=OQ^(2)`
` impliesx^(2)+r^(2)=R^(2)`
`impliesr^(2)=R^(2)-x^(2)" "...(2)`
समीकरण (1 ) और (2 ) से h और r का मान V में रखने पर,
`V=1/3pi(R^(2)-x^(2))(x+R)[becauseh=x+R]...(3)`
समीकरण (3 ) को x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dV)/(dx)=1/3pi[(R^(2)-x^(2))-2x(x+R)]`
`implies(dV)/(dx)=pi/3[R^(2)-x^(2)-2x^(2)-2xR]`
`implies(dV)/(dx)=pi/3(R^(2)-2xR-3x^(2))`
`implies(dV)/(dx)=pi/3(R-3x)(R+x)" "...(4)`

उच्चतम मान के लिए `(dV)/(dx)=0`
`(pi)/(3)(R-3x)(R+x)=0`
`impliesx=R/3` या `x=-Rimpliesx=R/3`
`(becausex` त्राणात्मक नहीं हो सकता है)
x के सापेक्ष समीकरण (4 ) का अवकलन करने पर,
`(d^(2)V)/(dx^(2))=pi/3[(-3)(R+x)+(R-6x)`
`x=R/3` पर, `(d^(2)V)/(dx^(2))=(-pi)/(3)(2R+(6R)/(3))=-(4pi)/(3)R lt0`
` thereforeV` का स्थानीय उच्चतम मान `x=R/3` पर है
अब x का मान समीकरण (3 ) में रखने पर,
`V=pi/3(R^(2)-(R^(2))/(9))(R+(R)/(3))`
`=pi/3.(8R^(2))/(9).(4R)/(3)=8/27((4)/(3)piR^(3))`
`impliesV=8/27xx` गोले का आयतन