सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ का दिए आयतन के लम्ब वृत्तीय शंकु कि ऊंचाई, आधार कि त्रिज्या कि `sqrt2` गुनी होती है.

Explanation

माना शंक्वाकार डेरे कि त्रिज्या 'r ' और ऊँचाई 'h ' है. यदि तिर्यक कि ऊँचाई l है, तो
`l^(2)=h^(2)+r^(2)" "...(1)`
आयतन `V=1/3pir^(2)h" "...(2)`
अब वक्र पृष्ठ `C=pirl`
`=pirsqrt(h^(2)+r^(2))`
`=pirsqrt(((3V)/(pir^(2)))^(2)+r^(2))`[समीकरण (1 ) से]
`C^(2)=pi^(2)r^(2)((9V^(2))/(pi^(2)r^(4))+r^(2))`
माना `Z=C^(2)=(9V^(2))/(r^(2))+pi^(2)r^(4)`
`implies(dZ)/(dr)=(-18V^(2))/(r^(3))+4pi^(2)r^(2)`
और `(d^(2)Z)/(dr^(2))=(54V^(2))/(r^(4))+12pi^(2)r^(2)`
उच्चिष्ट/निम्निष्ठ के लिये `(dZ)/(dr)=0`
`implies(-18V^(2))/(r^(3))+4pi^(2)r^(3)=0`
`implies18V^(2)=4pi^(2)r^(6)`
`implies18.1/9pi^(2)r^(4)h^(2)=4pi^(2)r^(6)`
`implies2h^(2)==4r^(2)impliesh=sqrt2r`
`h/r=(sqrt2)/(1)=sqrt2:1`
और `(d^(2)Z)/(dr^(2))gt0`
`impliesZ` न्यूनतम है.
`impliesC^(2)` न्यूनतम है.
`impliesC` न्यूनतम है.
अतः डेरे में कम-से-कम कपडा लगेगा यदि उसकी ऊँचाई और आधार कि त्रिज्या में `sqrt2:1` का अनुमान है.