सिद्ध कीजिए कि दी गई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्द्धशीर्ष `tan^(-1)sqrt2` होता है.

Explanation

माना शंकु के आधार कि त्रिज्या 'r ' और ऊँचाई 'h ' है
`thereforeh^(2)+r^(2)+l^(2)` जहाँ l दी गई तिर्यक ऊँचाई है.
`impliesr^(2)=l^(2)-h^(2)" "...(1) `
शंकु का आयतन `V=1/3pir^(2)h`
`impliesV=1/3pih(l^(2)-h^(2))`
`=1/3pi(l^(2)h-h^(2))`
`implies(dV)/(dh)=1/3pi(l^(2)-3h^(2))`

उच्चिष्ट/निम्निष्ठ के लिये, `(dV)/(dh)=0`
`impliesl^(2)-3h^(2)=0`
`impliesl^(2)=3h^(2)`
और `(d^(2)V)/(dh^(2))=1/3pi(0-6h)=-2pihlt0`
`impliesV` उच्छिष्ट है
अब समीकरण (2 ) से
`l^(2)=3h^(2)`
`impliesr^(2)+h^(2)=3h^(2)` [समीकरण (1 ) से]
`impliesr^(2)=2h^(2)`
`impliesr=sqrt2*himpliesr/h=sqrt2`
`impliestantheta=sqrt2` यहाँ `theta`शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण है.
`impliestheta=tan^(-1)sqrt2`
अतः उच्चतम आयतन वाले शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण `tan^(-1)sqrt2`