सिद्ध कीजिए कि दिए हुआ पृष्ठ और महत्तम आयतन वाले लम्ब वृत्तीय शंकु का अर्ध शीर्ष कोण `sin^(-1)((1)/(3))` होता है.

Explanation

माना शंक्वाकार डेरे कि त्रिज्या 'r ' और ऊँचाई 'h ' है. यदि तिर्यक कि ऊँचाई 'l ' है,
इसका सम्पूर्ण पृष्ठ
`S=pir^(2)+pirl`
`impliesl=(S-pir^(2))/(pir)`
शंकु का आयतन `V=1/3pi^(2)r^(4)h^(2)`
`impliesV^(2)=1/9pi^(2)r^(4)h^(2)`

`V^(2)=1/9pi^(2)r^(4)(l^(2)-r^(2))`
`=1/9pi^(2)r^(4)[((S-pir^(2))/(pir))^(2)-r^(2)]`
`=1/9pi^(2)r^(4)[((S-pir^(2))^(2)-pi^(2)r^(4))/(pi^(2)r^(2))]`
`implies=1/9r^(2)[S^(2)-2piSr^(2)]`
माना `Z=V^(2)=S/9[Sr^(2)-2pir^(4)]`
`(dZ)/(dr)=S/9[2Sr-8pir^(3)]`
अब `(d^(2)Z)/(dr^(2))=S/9(2S-24pir^(2))`
उच्चिष्ठ/नमनिष्ठ के लिये `(dZ)/(dr)=0`
`implies2Sr=8pir^(3)`
`implies2(pir^(2)+pirl)=8pir^(2)`
`impliespirl=3pir^(2)`
`impliesl =3r impliesr/l=1/3`
`impliessin alpha=1/3` जहाँ `alpha=` अर्द्धशिर्ष कोण है.
`alpha=sin^(-1)""(1)/(3)`
`l=3r` पर
`(d^(2)Z)/(dr^(2))=S/9(2S-24pir^(2))`
`=(2S)/(9)(pir^(2)+pirl-12pir^(2))`
`=pir(2S)/(9)(1-11r)`
`=(2Spir)/(9)(-8r)lt0`
अतः Z अधिकतम है.
`impliesV^(2)` अधिकतम है
`impliesV` अधिकतम है.
अतः अधिकतम आयतन के लिये अर्द्धशिर्ष कोण `=sin^(-1)""(1)/(3)`