x , के सभी वास्तविक मानो के लिए `(1-x+x^(2))/(1+x+x^(2))` का न्यूनतम मान है:
`(a) 0" "(b)1" "(c)3" "(d)1/3`

Answer

d

Explanation

मान लीजिए `y=(12-x+x^(2))/(1+x+x^(2))`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`(dy)/(dx)=((1+x+x^(2))(-1+2x)-(1-x+x^(2))(1+2x))/((1+x+x^(2))^(2))`
`-1+2x-x+2x^(2)-x^(2)+2x^(3)`
`=(-1-2x+2x^(2)-x^(2)-2x^(3))/((1+x+x^(2))^(2))`
`=(-2+2x^(2)-2x^(2)+2x^(2))/((1+x+x^(2))^(2))`
`=(2x^(2)-2)/((1+x+x^(2))^(2))=(2(x^(2)-1))/((1+x+x^(2))^(2))`
अब `(dy)/(dx)=0` रखने पर `impliesx^(2)=1`
`impliesx=pm1`
`2[(1+x+x^(2))^(2)(2x)`
अब `(d^(2)y)/(dx^(2))=(-(x^(2)-1)(2)(1+x+x^(2))(1+2x))/((1+x+x^(2))4)`
`4(1+x+x^(2))[(1+x+x^(2))x`
`=(-(x^(2)-1)(1+2x))/((1+x+x^(2))^(4))`
`=(4(x+x^(2)+x^(3)-x^(2)-2x^(3)+1+2x))/((1+x+x^(2))^(3))`
`=(4(1+3x-x^(3)))/((1+x+x^(2))^(3))`
`x=1` पर
`((d^(2)y)/(dx^(2)))_(x=1)=(4[1+3(-1)-(-1)^(3)])/([1+(-1)+(-1)^(2)]^(3))`
`=(4(1-3+1))/((1-1+1)^(3))=4(-1)=-4lt0`
`thereforex=1` पर, y न्यूनतम होगा और न्यूनतम मान
`y=(1-1+1)/(1+1+1)=1/3`