सिद्ध कीजिए की वक्र `x=acos theta+a theta sin theta, y=a sin theta-a theta costheta` के किसी बिन्दु `theta` पर अभिलम्ब मूल बिन्दु से अचार दूरी पर है।

Explanation

दिया गया वक्र है, `x=a cos theta+a thetasin theta,`
तथा `y=asin theta-a cos theta`
`implies(dx)/(d theta)=-a sin theta+a(thetacos theta+sin theta)`
`=-a sin theta+a theta cos theta+a sin theta`
`implies(dx)/(d theta) =a cos theta-a[theta(-sin theta)+cos theta]`
`=a cos theta +a theta sin theta-a cos theta`
`implies(dy)/(d theta)=a theta sin theta`
बिन्दु `theta` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
`=-(1)/((dy)/(dx))=-(1)/(tantheta)=-cot theta=-(cos theta)/(sin theta)`
बिन्दु (x,y) पर अभिलम्ब का समीकरण
`y-(a sintheta-acos theta)=-(costheta)/(sin theta)`
`=-(cos theta)/(sin theta)[x-(a costheta+athetasintheta)]`
`impliesysin theta -a sin ^(2)theta+a theta sin theta cos theta`
`=-cos theta+a cos^(2)theta+a theta sin theta*cos theta`
`impliesx cos theta+ysin theta=a(sin^(2)theta+cos^(2)theta)`
`(because sin^(2) +cos ^(2)theta=1)`
`x cos theta+y sin theta=a`
`x cos theta+ysin theta-a=0`
अब, मुलबिन्दु से अभिलम्ब की दूरी `=(।-a।)/(sqrt(cos^(2)theta+sin^(2)theta))`
`implies=(।-a।)/(sqrt1)=।-a।" "(becausecos^(2)theta+sin^(2)theta=1)`
जो `theta` से स्वतन्त्र है। अतः मुलबिन्दु से अभिलम्ब अचार दूरी पर है।