दीर्घवृत `(x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))=1` के अन्तर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।

Explanation

माना दीर्घवृत `(x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))=1` पर कोई बिन्दु `P(a costheta, bsin theta)` है।
P से `PM bot OX` खीचिए और इसे आगे बढ़ाकर दीर्घवृत से Q पर मिलाए, तब `DeltaAPQ` एक समद्विबाहु त्रिभुज है, माना इसका क्षेत्रफल S है, तब
`S=2xx1/2xxAMxxMP`
`=(OA-OM)xxMP`
`=(a-a costheta)b sin theta`
`impliesS=ab(sin theta-sin thetacos theta)`
`=ab(sintheta-1/2sin 2theta)`
`implies(dS)/(d theta)=ab(costheta-cos 2theta)`
पुनः `theta`के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(d^(2)S)/(d theta^(2))=ab(-sin theta+2sin 2theta)`
उच्चतम और निम्नतम मान के लिए `(dS)/(d theta)=0`
`implies cos theta=cos 2thetaimplies2theta=2pi-thetaimpliestheta=(2pi)/(3)`
`theta=(2pi)/(3)`पर,
`((d^(2)S)/(d theta^(2)))_(theta=(2pi)/(3))=ab[-sin""(2pi)/(3)+2 sin(2xx(2pi)/(3))`
`=ab(-(sqrt3)/(2)-(2sqrt3)/(2))=ab((-3sqrt3)/(2))`
`=(-3sqrt3ab)/(2)lt0`
`therefore=(2pi)/(3)` पर S उच्चतम मान
`=ab(sin(2pi)/(3)-1/2*2sin""(2pi)/(3)cos""(2pi)/(3))`
`=ab((sqrt3)/(2)+(sqrt3)/(2)xx1/2)`
`=ab((2sqrt3+sqrt3)/(4))=(3sqrt3)/(4)ab` वर्ग मात्रक