आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2 मीटर गहरी और 8 `"मीटर """^(3)` आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए रु `70//"मीटर"""^(2)` और दीवारों पर रु `45//"मीटर"""^(2)` व्यय आता है, तो निम्नतम खर्च से बानी टंकी की लगत क्या है?

Explanation

माना टंकी की लम्बाई x मीटर, चौड़ाई y मीटर है तथा टंकी की गहराई 2 मीटर है।
`therefore` टंकी का आयतन `=2xy`
`implies2xy=8`
`impliesxy=4impliesy=4/x।।।(1)`
` therefore` आधार का क्षेत्रफल `=xy=4`
तथा चार दीवारों का क्षेत्रफल `=2x+2y+2x+2y=4x+4y=4(x+y)`
दिया है की तानी के निर्माण में आधार के लिए रु `70//"मी"""^(2)` व्यय आता है।
`therefore` निर्माण का व्यय `,C= "रु" [70xxxy+45xx4(x+y)]`
=रु `[70xy+180(x+y)]`
`C=70xx4+180(x+(4)/(x))` समीकरण (1 ) से
`=280+180(x+(4)/(x))" "।।।(2)`
`implies(dC)/(dx)=0+180(1-(4)/(x^(2)))=180 ((x^(2)-4)/(x^(2)))`
निम्नतम व्यय के लिए `(dC)/(dx)=0`
`implies180((x^(2)-4)/(x^(2)))=0impliesx^(2)=4`
`impliesx=pm2`
अब `(d^(2)C)/(dx^(2))=180xx(8)/(x^(3))`
`x=2` पर, `(d^(2)C)/(dx^(2))gt0`
`thereforex=2` पर, C न्यूनतम है।
`impliesx=2` पर, `y=4/x=4/2=2`
समीकरण (2 ) से निर्माण से न्यूनतम व्यय `="रु" [280+180(2+(4)/(2))]`
`="रु"[280+720]="रु"1000`