एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योग k है, जहाँ k एक अचर है। सिद्ध कीजिए की उनके क्षेत्रफलो का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगनी है।

Explanation

माना वर्ग की भुजा x और वृत्त की त्रिज्या r है। प्रश्नानुसार
मना P = वर्ग का परिमाप + वृत्त की परिधि
`impliesP=4x+2pir" "।।।(1)`
माना `A=pir^(2)+x^(2)`
`A=pir^(2)+x^(2)`
`=pir^(2)((P-2pir)/(4))^(2)` [समीकरण (1 ) से]
`=pir^(2)+1/16(P-2pir)^(2)`
`implies(dA)/(dr)=2pir+(2)/(16)(-2pi)(p-2pir)`
`=2pir-(pi)/(4)(P-2pir)`
और `(d^(2)A)/(dr^(2))=2pi+(pi^(2))/(2)`
उच्चिष्ठ/निम्निष्ठ के लिये
`(dA)/(dr)=0`
`2pir-(pi)/(4)(P-2pir)=0`
`implies2pir=(pi)/(4)4x`
`implies2r=x`
`x=2r` पर,
`(d^(2)A)/(dr^(2))gt0`
`impliesA` न्यूनतम है।
अतः कुल क्षेत्रफल न्यूनतम होगा यदि वर्ग की भुजा वृत्त के व्यास के बराबर है।