किसी आयत के ऊपर से बने अर्धवृत के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का सम्पूर्ण परिमाप 10 मी है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लीएखिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

Explanation

माना अर्धवृत्त की त्रिज्या =r
`thereforeP=` परिमाप = 10 (दिया है)
`implies2x+2r+1/2(2pir)=10`
`implies2x=10-r(pi+2)" "।।।(1)`
पुनः माना A खिड़की का क्षेत्रफल है
`thereforeA=` अर्धवृत्त का क्षेत्रफल + आयत का क्षेत्रफल
`=1/2pir^(2)+2rx`
`impliesA=1/2pir^(2)+r[10-r(pi+2)]` [समीकरण (1 ) से]
`=1/2pir^(2)+10r-r^(2)pi-2r^(2)`
`=10r-(pir^(2))/(2)-2r^(2)`
`implies(dA)/(dr)=10-pir-4r" "।।।(2)`
और `(d^(2)A)/(dr^(2))=-pi-4" "।।।(3)`
उच्चतम और निम्नतम मान के लीए `(dA)/(dr)=0`
`implies10-pir-4r=0implies10=(4+pi)r`
`impliesr=(10)/(4+pi)`
समीकरण (3 ) में `r=(10)/(4+pi)` रखने पर, `(d^(2)A)/(dr^(2))lt0`
`thereforer=(10)/(4+pi)` पर A का स्थानीय मान उच्चतम होगा।
`therefore` अर्धवृत्त की त्रिज्या `r=(10)/(4+pi)" "।।।(4)`
और आयत की एक भुजा `=2r=(2xx10)/(4+pi)=(20)/(4+pi)`
समीकरण (1 ) द्वारा आयत की दूसरी भुजा
`x=1/2[10-r(pi-2)]`
`=1/2[10-((10)/(pi+4))(pi+2)]` [समीकरण (4 ) से]
`=(20)/(2(pi+4))=(10)/(pi+4)`
`therefore`खिड़की से आने वाला प्रकाश उच्चतम होगा जब क्षेत्रफल उच्चतम है। इसलिए, खिड़की की विमाएँ निम्न है
त्रिज्या `=r=(10)/(pi+4),` लम्बाई `=2r=(20)/(pi+4),` चौड़ाई `=x=(10)/(pi+4)`