त्रिभुज की भुजाओ से a और b दुरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिन्दु है। सिद्ध किझीए की कर्ण की नीनतम लम्बाई `(a^(2//3)+b^(2//3))^(3//2)` है।

Explanation

माना समकोण `DeltaABC` के कर्ण AC के P एक बिन्दु इस प्रकार है कि
`PL bot AB=a` और ` PM bot BC=b` पुनः मान
`angleAPL =angleACB=theta` तब
`AP=a sec theta, PC =b cosec theta`
पुनः माना कर्ण कि लम्बाई l है, तब
`l=AP+PCimpliesl =a sec theta+b cosec theta, 0 ltthetalt (pi)/(2)`
`theta` के सापेक्ष अवकलन करने पर
`(dl)/(d theta)=a sec theta tan theta-b cosec theta cot theta`
उच्चतम और निम्नतम मान के लिए `(dl)/(d theta)=0`
`impliesa sectheta tan theta =b cosec theta cot theta`
`implies(a sin theta)/(cos^(2)theta)=(b cos theta)/(sin ^(2)theta)implies(sin ^(3) theta)/(cos^(2)theta)=b/a`
`impliestan^(3)theta=b/aimpliestan theta=((b)/(a))^(1/3)`
अब `(d^(2)l)/(d theta^(2))=a(sec thetaxxsec ^(2)theta+tan thetaxxsec thetatan theta)`
`-b[cosec theta(-cosec^(2)theta)+cot theta(-cosec theta cot theta)]`
`=a sec theta( sec ^(2) theta+ tan ^(2) theta)+b cosec theta(cosec^(2) theta+cot^(2)theta)`
चूँकि `0 gt 0, b gt0 " "sqrt(a^(2/3)+b^(2/3))`
`implies ` जब `tan theta=((b)/(a))^(1/3)` है तो l न्यूनतम है।
`thereforel` का न्यूनतम मान `=a sec theta+b cosec theta`
`=a(sqrt(a^(2/3)+b^(2/3)))/(a^(1/3))+b(sqrt(a^(2/3)+b^(2/3)))/(b^(1/3))`
`=sqrt(a^(2/3)+b^(2/3))"("a^(2/3)+b^(2/3)")"="("a^(2/3)+b^(2/3)")"^(3/2)`