सिद्ध कीजिए कि एक r त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत उच्चतम आयतन के लम्ब वृत्तीय शंकु कि ऊँचाई `(4r)/(3)`है।

Explanation

माना 'O ' केन्द्र और 'R ' त्रिज्या के गोले में आधार त्रिज्या 'r ' और ऊँचाई 'h ' का शंकु स्थति है। गोले का केन्द्र 'O ' शंकु की ऊँचाई AC पर होगा।
`DeltaOAB` में,
`OB^(2)=OA^(2)+AB^(2)`
`R^(2)=(h-R)^(2)+r^(2)`
`implies0=h^(2)-2hR+r^(2)`
`impliesr^(2)=2hR-h^(2)" "।।।(1)`
अब शंकु का आयतन
`V=1/3pir^(2)h`
`=1/3pih(2hR-h^(2))` [समीकरण (1 ) से]
`=1/3pi(2h^(2)R-h^(3))`
`(dV)/(dh)=1/3pi(4hR-3h^(2))`
और `(d^(2)V)/(dh)=1/3pi(4R-6h)`
उच्चिष्ठ/निम्निष्ठ के लिये
`(dV)/(dh)=0`
`implieshR-3h^(2)=0`
`implies4R=3h`
`impliesh/R=4/3=4:3`
`h=(4R)/(3)` पर
`(d^(2)h)/(dh^(2))=1/3pi(4R-8R)=-1/3pi(4R)lt0`
`implies` आयतन महत्तम है।
अतः उच्चतम आयतन के लिये शंकु की ऊँचाई और गोले की त्रिज्या का अनुपात `4:3` होगा।