मान लीजिए `[a,b]` पर परिभाषित एक फलन f है इस प्रकार कि सभी `x in(a,b)` के लिए `f'(x)gt0` हे तो सिद्ध कीजिए कि (a , b ) एक वृद्धिमान फलन है।

Explanation

दिया है `[a,b]`पर `f'(x) gt0`
`therefore[a,b]` पर, f एक अवकलनीय फलन है और प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत होता है। इसलिए `f,[a,b]` सतत है।
माना `x_(1),x_(2)in [a,b]`और `x_(2)gtx_(1),` तब लेगरेंज प्रमेय द्वारा, एक `c in[a,b]` इस प्रकार है कि
`f'(c)=(f(x_(2))-f(x_(1)))/(x_(2)-x_(1))`
`impliesf(x_(2))-f(x_(1))=(x_(2)-x_(1))f(c)`
`impliesf(x_(2))-f(x_(1))gt0" "(becausex_(2)gtx_(1))`
और `f'(x)gt0impliesf(x_(2))gtf(x_(1))`
`thereforex_(1)ltx_(2)` के लिए `impliesf(x_(1))ltf(x_(2))`
इसलिए (a,b) पर f वृद्धिमान फलन है।