सिद्ध कीजिए कि अर्ध्द शीर्ष कोण `alpha` और ऊँचाई h के लम्ब वृत्तीय शंकु के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन कि ऊँचाई, शंकु के ऊँचाई की एक तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन `4/27pih^(3)tan^(2)alpha` है।

Explanation

माना शंकु की ऊँचाई `AO=h`और `angleBAO=alpha`
माना बेलन की त्रिज्या O 'P = x
`DeltaAPO'` में, `tan alpha=(PO')/(AO')`
`implies AO'=x cot alpha=h-x cot alpha`
अब बेलन का आयतन
`V=pix^(2)*(OO')`
`=pix^(2)(h-x cotalpha)`
`=pi(hx^(2)-x^(3)cot alpha)`
`implies(dV)/(dx)=pi(2h-3x^(2)cot alpha)`
और `(d^(2)V)/(dx^(2))=pi(2h-6x cot alpha)`
उच्चिष्ठ/निम्निष्ठ के लिये `(dV)/(dx)=0`
`implies2hx=3x^(2)cot alphaimpliesx=(2h)/(3)tanalpha`
`x=(2h)/(3)tan alpha` पर
`(d^(2)V)/(dx^(2))=pi(2h-4h)=-2pih lt0`
`implies` आयतन V महत्तम है अब महत्तम आयतन
`V=pi{h((2h)/(3)tanalpha)^(2)-((2h)/(3)tan alpha)^(3)cot alpha}`
`=pih^(3)tan^(2)((4)/(9)-(8)/(27))=4/27pih^(3)tan^(2)alpha`