सरल रेखा `x = (a)/(2)` द्वारा विभाजित वृत्त `x^(2) + y^(2)=a^(2)` के भागो के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए ।

Explanation

माना रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेद बिन्दु P और Q ।है अतः सरल रेखा द्वारा वृत्त के दो भगा PAQP और PBQP है।

अब PAQP का क्षेत्रफल
` = 2 xx PAMP`
` = 2 xx int_(a//2)^(a) sqrt(a^(2) - x^(2)) dx`
` = 2[(x)/(2) sqrt(a^(2) - x^(2))+ (a^(2))/(2)) sin ^(-1).(x)/(a)]_(a//2)^(a)`
` = 2 [( 0+(a^(2))/(2)sin^(-1)1) -((a)/(4).(asqrt(3))/(2)+(a^(2))/(2) sin^(-1).(1)/(2))]`
` = 2((a^(2)pi)/(4) -(a^(2)sqrt(3))/(8) - (a^(2)pi)/(12))`
` = (6a^(2)pi -3a^(2) sqrt(3) -2a^(2) pi)/(12)`
` = (a^(2) (4pi - 3sqrt(3)))/(12)`वर्ग इकाई
PBQP का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - PAQP का क्षेत्रफल
`= pia^(2) - (a^(2)(4pi - 3sqrt(3)))/(12) = (12pia^(2) - 4pia^(2) + 3sqrt(3)a^(2))/(12)`
`= (a^(2)(8pi + 3sqrt(3)))/(12)`
`therefore` PBQP का क्षेत्रफल : PAQP का क्षेत्रफल
` = (a^(2)(8pi + 3sqrt(3)))/(12) :(a^(2)(4pi - 3sqrt(3)))/(12)`
` = (8pi + 3sqrt(3)) : (4p - 3sqrt(3))`