एक आहारविद दो भोज्यों P और Q का उपयोग करते हुए एक विशेष आहार तैयार करता है । भोज्य P का प्रत्येक पैकेट (जिसमे 30 ग्राम अंतव्रिष्ट है) में कैल्शियम के 6 मात्रक और विटामिन A के 6 मात्रक अंतव्रिष्ट हैं जबकि उसी मात्रक के भोज्य Q के पैकेट में कैल्शियम तत्व के 3 मात्रक, लौह-तत्व के 20 मात्रक, कोलेस्ट्रोल के 4 मात्रक और विटामिन A के 3 मात्रक अंतव्रिष्ट हैं । आहार में कम-से कम 240 मात्रक कैल्शियम, लौह-तत्व के कम-से-कम 460 मात्रक और कोलेस्ट्रोल के अधिक-से-अधिक 300 मात्रक अपेक्षित हैं । आहार में विटामिन A के मात्रा का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग होना चाहिए? आहार में विटामिन A की अधिकतम मात्रा क्या है?

Explanation

माना आहारविद भोज्य P के x पैकेज तथा भोज्य Q के y के पैकेज तैयार करता है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है ।

न्यूनतमीकरण `Z = 6x + 3y " " …(1)`
व्यवरोध
`12x + 3y ge 240 rArr 4x + y ge 80 " " ... (2)`
`4x + 20y ge 460 rArr x + 5y ge 115 " " ... (3)`
`6x + 4y le 300 rArr 3x + 2y le 150 " " ...(4)`
`x ge 0, y ge 0 " " ...(5)`
सर्वप्रथम, रेखा 4x +y = 80 का ग्राफ खींचते हैं ।

(0, 0) असमिका `4x + y ge 80` में रखने पर,
`4 xx 0 + 0 ge 80 rArr 0 ge 80` (असत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा ।
अब, रेखा x + 5y = 115 का ग्राफ खींचते हैं ।

(0, 0) असमिका `x + 5y ge 115` में रखने पर,
`0 + 5 xx 0 ge 115 rArr 0 ge 115` (असत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा ।
अब, रेखा 3x + 2y = 150 का ग्राफ खींचते हैं ।

(0, 0) असमिका `3x +2y le 150` में रखने पर,
`3 xx 0 + 2 xx 0 le 150 rArr 0 le 150` (सत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर स्थित है । चूँकि `x, y ge 0` अतः
सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है ।
समीकरण 4x + y = 80 तथा x +5y = 115 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु A(15, 20) प्राप्त होता है ।
इसी प्रकार, समीकरण 3x + 2y = 150 तथा x+ 5y = 115 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(40, 50) प्राप्त होता है, अतः सुसंगत क्षेत्र ABCA है ।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(15, 20), B(40, 15) तथा C(2, 72) है । इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है ।

अतः Z का अधिकतम मान बिंदु B(40, 15) पर 285 है । अतः विटामिन A की अधिकतम मात्रा प्राप्त करने के लिए भोज्य P के 40 पैकेज तथा भोज्य Q के 15 पैकेज तैयार करने चाहिए । अतः विटामिन A की अधिकतम मात्रा 285 है ।