एक किसान दो प्रकार के चारे P और Q को मिलता (मिश्रण) है । P प्रकार के चारे, जिसका मूल्य Rs 250 प्रति थैला जोकि पोषक तत्व A के 3 मात्रक, तत्व B के 2.5 मात्रक और तत्व C के 2 मात्रक रखता है जबकि Q प्रकार का चारा जिसका मूल्य Rs 200 प्रति थैला है, पोषक तत्व A का 1.5 मात्रक, तत्व B का 11.25 मात्रक और तत्व C के तीन मात्रक रखता है। पोषक तत्वों A, B और C की न्यूनतम आवश्यकताएँ क्रमशः 18 मात्रक, 45 मात्रक और 24 मात्रक हैं । प्रत्येक प्रकार के थैलों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि मिश्रण के प्रत्येक थैले का मूल्य न्यूनतम हो? मिश्रण के प्रत्येक थैले का न्यूनतम मूल्य क्या है?

Explanation

माना किसान P प्रकार के चारे के x थैले और Q प्रकार के चारे के y थैले मिलता है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है ।

न्यूनतमीकरण `Z = 250x + 200y " " …(1)`
व्यवरोध `3x + 1.5y ge 18 rArr 2x + y ge 12 " " ... (2)`
`2.5x + 11.25y ge 45 rArr 2x + 9y ge 36 " " ... (3)`
`2x + 3y ge 24 " " ...(4)`
`x ge 0, y ge 0 " "...(5)`
सर्वप्रथम, रेखा 2x + y = 12 का ग्राफ खींचते हैं ।

(0, 0) असमिका `2x + y ge 12` में रखने पर,
`2 xx 0 + 0 ge 12 rArr 0 ge 12` (असत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा ।
अब, रेखा 2x + 9y = 36 का ग्राफ खींचते हैं ।

(0, 0) असमिका `2x + 9y ge 36` में रखने पर
`2 xx 0 + 9 xx 0 xx ge 36 rArr 0 ge 36` (असत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा ।
अब, रेखा 2x + 3y = 24 का ग्राफ खींचते हैं ।

(0, 0) असमिका `2x +3y ge 24` में रखने पर,
`2 xx 0 + 3 xx 0 ge 24 rArr 0 ge 24` (असत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा । चूँकि `x, y ge 0` है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा । समीकरण 3x + 1.5y = 18 तथा 2x + 3y = 24 को हल करने पर प्रतिछेद बिंदु C(3, 6) प्राप्त होता है ।
इसी प्रकार, समीकरण 2.5x + 11.25y = 45 तथा 2x+ 3y = 24 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(9, 2) प्राप्त होता है । इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(18, 0), B(9, 2), C(3, 6) तथा D(0, 12) हैं । इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न हैं,

चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, अतः Z का निम्नतम मान 1950 हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है । इसके लिए असमिका `250x + 200y lt 1950 ` या `5x + 4y le 39` का ग्राफ खींचते हैं । यहाँ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, अतः Z निम्नतम मान बिंदु C(3, 6) पर 1950 प्राप्त होता है । अतः न्यूनतम लागत Rs 1950 प्राप्त करने के लिए P प्रकार के चारे के 3 थैले, Q प्रकार के चारे के 6 थैले मिश्रण में प्रयोग करने चाहिए ।