एक निर्माता दो प्रकार के खिलौने A और B बनाता है । इस उद्देश्य के लिए निर्माण में तीन मशीनों की आवश्यकता पड़ती है और प्रत्येक प्रकार के खिलौने के निर्माण के लिए लगा समय (मिनटों में ) निम्नलिखित है ।

प्रत्येक मशीन अधिकतम 6 घंटे प्रतिदिन के लिए उपलब्ध है । यदि A प्रकार के खिलौने की बिक्री पर Rs 7.50 लाभ और B प्रकार के खिलौने पर Rs 5 का लाभ हो तो दर्शाइए की अधिकतम लाभ कमाने के लिए प्रतिदिन A प्रकार के 15 खिलौने और B प्रकार 30 खिलौने निर्मित होने चाहिए ।

Explanation

माना निर्माता A प्रकार के x खिलौने और B प्रकार के y खिलौने बनाता है तब, निम्न तालिका प्राप्त होती है ।

अधिकतमीकरण `Z = 7.50x + 5y " " …(1)`
व्यवरोध
`12x + 6y le 350 rArr 2x + y le 60 " " ...(2)`
`18x le 360 rArr x le 20 " "... (3)`
`6x + 9y le 360 rArr 2x + 3y le 120 " " ... (4)`
`x ge 0, y ge 0 " "... (5)`
सर्वप्रथम, रेखा 2x + y = 60 का ग्राफ खींचते है ।
`|{:(x,0,30),(y,60,0):}|`
(0, 0) असमिका `2x + y le 60` में रखने पर,
`2 xx 0 + 0 le 60 rArr 0 le 60` (असत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा ।
अब, रेखा 2x + 3y = 120 का ग्राफ खींचते हैं ।

(0, 0) असमिका `2x + 3y le 120` में रखने पर,
`2 xx 0 + 3xx 0 le 120`
`rArr 0 le 120` (सत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के ओर होगा ।
अब, रेखा x = 20 का ग्राफ खींचते हैं ।
(0, 0) असमिका `x le 20` में रखने पर, `0 le 20` (सत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा । चूँकि `x, y ge 0` सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा ।
समीकरण 2x + y = 60 तथा 2x + 3y = 120 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु C(15, 30) प्राप्त होता है । इसी प्रकार, समीकरण x = 20 तथा 2x + y = 60 का हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(20, 20) प्राप्त होता है, अतः सुसंगत क्षेत्र OABCDO है ।
अतः सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(20, 0), B(20, 20), C(15, 30) तथा D(0, 40) हैं । इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान अग्र है।

अतः Z अधिकतम मान बिंदु C(15, 30) पर 712.50 प्राप्त होता है, अतः अधिकतम लागत 712.50 प्राप्त करने के लिए A प्रकर के लिए 15 खिलौने और B प्रकार के 30 खिलौने बनाना चाहिए ।