एक हवाई जहाज अधिकतम 200 यात्रियों को यात्रा करा सकता है । प्रत्येक प्रथम श्रेणी के टिकट पर Rs 1000 और सस्ते श्रेणी के निकट पर Rs 600 का लाभ कमाया जा सकता है । एयरलाइन कम से कम 20 सीटें प्रथम श्रेणी के लिए आरक्षित करती है । तथापि प्रथम श्रेणी के अपेक्षा कम से कम 4 गुने यात्री सस्ती श्रेणी के टिकट से यात्रा करने को वरीयता देते हैं । ज्ञात कीजिए की प्रत्येक के कितने-कितने टिकट बेचे जाएँ ताकि लाभ का अधिकतमीकरण हो? अधिकतम लाभ कितना है?.

Explanation

माना प्रथम श्रेणी के x यात्री तथा द्वितीय श्रेणी के y यात्री है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है ।

अधिकतमीकरण `Z= 1000x + 600y " " …(1)`
व्यरोध `x + y le 200 " " … (2)`
`x ge 20 " " ...(3)`
`y-4x ge 0 rArr y ge 4x " " ... (4)`
`x ge 0, y ge 0 " " ... (5)`
सर्वप्रथम रेखा x + y = 200 का ग्राफ खींचते हैं ।


(0, 0) असमिका `x + y le 200` में रखने पर,
`0 +0 le 200 rArr 0 le 200`
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा ।
अब, रेखा y = 4x का ग्राफ खींचते हैं ।

(10, 0) असमिका `y ge 4x` में रखने पर,
`0 ge 4 xx 10 rArr 0 ge 40` (असत्य)
अतः अर्द्धतल (10, 0) के विपरीत ओर होगा ।
अब, रेखा x = 20 का ग्राफ खींचते हैं ।
(0, 0) असमिका `x ge 20` में रखने पर, `0 ge 20` (असत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा चूँकि `x, y ge 0`,
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा ।
समीकरणों को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु A(20, 80), B(40, 160) तथा C(20, 180) प्राप्त होते हैं ,
अतः सुसंगत क्षेत्र ABCA है ।
अतः सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(20, 80), B(40, 160) तथा C(20, 180) है । इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है ।

अतः Z का अधिकतम मान बिंदु B(40, 160) पर 136000 प्राप्त होता है । अतः अधिकतम लागत Rs 136000 प्राप्त करने के लिए प्रथम श्रेणी के 40 टिकट तथा सस्ती श्रेणी के 160 टिकटों की आवश्यकता होगी ।