एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्रांड और Q ब्रांड का उपयोग कर सकता है । मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फास्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (kg में) सारणी में दिया गया है । परिक्षण संकेत देते हैं कि बाग को कम-से-कम 240 kg फास्फोरिक अम्ल, कम-से-कम 270 kg पोटाश और क्लोरीन की अधिक-से-अधिक 310 kg की आवश्यकता है ।
यदि उत्पादक बाग के लिए मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का न्यूनतमीकरण करना चाहता है तथा, प्रत्येक मिश्रण के कितने थैलों का उपयोग होना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा क्या है?

Explanation

माना फल उत्पादक P ब्रांड के x थैले तथा Q ब्रांड के y थैले उपयोग करता है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है ।

न्यूनतमीकरण `Z = 3x+ 3.5y " " …(1)`
व्यवरोध `x +2y ge 240 " " … (2)`
`3x + 1.5y ge 270 " " ... (3)`
`1.5x +2y le 310 " " ...(4)`
`x ge 0, y ge 0 " " ... (5)`
सर्वप्रथम, रेखा x + 2y = 240 का ग्राफ खींचते हैं ।
`|{:(x,0,240),(y,120,0):}|`
(0, 0) असमिका `x+ 2y ge 240` में रखने पर,
`0 +2 xx 0 ge 240 rArr 0 ge 240` (असत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा ।
अब, रेखा `3x +1.5y = 270` का ग्राफ खींचते हैं ।

(0,0) असमिका `3x+1.5y ge 270` में रखने पर,
`3 xx 0 +1.5 xx 0 ge 270 rArr 0 ge 270` (असत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा ।
अब, रेखा 1.5x + 2y = 310 का ग्राफ खींचते हैं ।
`|{:(x,0,620//3),(y,155,0):}|`
(0, 0) असमिका `1.5x + 2y le 310` में रखने पर,
`1.5 xx 0 + 2 xx 0 le 310 rArr 0 le 310` (सत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा ।
चूँकि `x, y ge 0`
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा ।
समीकरण 1.5x + 2y = 310 तथा x + 2y = 240 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु A(140, 50) प्राप्त होता है । इसी प्रकार, समीकरण 3x + 1.5y = 270 तथा 1.5x + 2y = 310 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(20, 140) प्राप्त होता है ।
`therefore ` सुसंगत क्षेत्र ABCA है ।
अतः सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(140, 50), B(20, 140) तथा C(40, 100) हैं । इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है ।

अतः Z का निम्नतम मान बिंदु C(40, 100) पर 470 प्राप्त होता है । बाग में नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा 470 किग्रा मिलाई जाने की लिए, ब्रांड P के 40 थैलों तथा ब्रांड Q के 100 थैले का प्रयोग करना चाहिए ।